目錄

　　目錄    - 1 -

　　（一） 數的整除    - 2 -

　　（二） 數字謎    - 6 -

　　①    橫式字謎    - 6 -

　　②             豎式字謎    - 8 -

　　（三） 定義新運算    - 11 -

　　（四） 行程問題    - 15 -

　　①    追擊及遇問題    - 15 -

　　②    火車過橋    - 19 -

　　（五） 列方程解應用題    - 22 -

　　（六） 抽屜原理    - 27 -

　　（七） 不規則圖形面積計算（1）    - 30 -

　　（八） 不規則圖形面積計算（2）    - 34 -

　　（九） 邏輯推理    - 39 -

　　（十） 牛吃草    - 41 -

　　（十一） 流水行船    - 45 -

　　（十二） 奇數與偶數    - 47 -

　　（十三） 周期性問題    - 52 -

　　（十四） 植樹問題    - 56 -

　　（十五） 有趣的樹陣圖    - 59 -

　　（十六） 有趣的樹陣圖練習    - 63 -

　　（一） 數的整除

　　如果整除a除以不為零數b，所得的商為整數而余數為0，我們就說a能被b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的約數，a叫做b的倍數。

　　數的整除的特征：

　　（1）    能被2整除的數的特征：如果一個整數的個位數字是2、4、6、8、0，那么這個整數一定能被2整除。

　　（2）    能被3（或9）整除的數的特征：如果一個整數的各個數字之和能被3（或9）整除，那么這個整數一定能被3（或9）整除。

　　（3）    能被4（或25）整除的數的特征：如果一個整數的末兩位數能被4（或25）整除，那么這個數就一定能被4（或25）整除。

　　（4）    能被5整除的數的特征：如果一個整數的個位數字是0或5，那么這個整數一定能被5整除。

　　（5）    能被6整除的數的特征：如果一個整數能被2整除，又能被3整除，那么這個數就一定能被6整除。

　　（6）    能被7（或11或13）整除的數的特征：一個整數分成兩個數，末三位為一個數，其余各位為另一個數，如果這兩個數之差是0或是7（或11或13）的倍數，這個數就能被7（或11或13）整除。

　　（7）    能被8（或125）整除的數的特征：如果一個整數的末三位數能被8（或125）整除，那么這個數就一定能被8（或125）整除。

　　（8）    能被11整除的數的特征：如果一個整數的奇數位數字之和與偶數位數字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除。

　　一、例題與方法指導

　　例1.     一個六位數23□56□是88的倍數,這個數除以88所得的商是_____或_____.

　　思路導航：

　　一個數如果是88的倍數,這個數必然既是8的倍數,又是11的倍數.根據8的倍數,它的末三位數肯定也是8的倍數,從而可知這個六位數個位上的數是0或8.而11的倍數奇偶位上數字和的差應是0或11的倍數,從已知的四個數看,這個六位數奇偶位上數字的和是相等的,要使奇偶位上數字和差為0,兩個方框內填入的數字是相同的,因此這個六位數有兩種可能

　　23 0 56 0 或23 8 56 8

　　又 230560 88=2620

　　238568 88=2711

　　所以,本題的答案是2620或2711.

　　例2.     123456789□□,這個十一位數能被36整除,那么這個數的個位上的數最小是_____.

　　思路導航：

　　因為36=9 4,所以這個十一位數既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45，由能被9整除的數的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數的特征:這個數的末尾兩位數是4的倍數,可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數個位上有0,2,6三種可能性.

　　所以,這個數的個位上的數最小是0.

　　例3.     下面一個1983位數33…3□44…4中間漏寫了一個數字(方框),已

　　991個   991個

　　知這個多位數被7整除，那么中間方框內的數字是_____.

　　思路導航：

　　33…3□44…4

　　991個    991個

　　=33…3 10993+3□4 10990+44…4

　　990個                       990個

　　因為111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要

　　990個     990個

　　3□4能被7整除，原數即可被7整除.故得中間方框內的數字是6.

　　例4.     有三個連續的兩位數,它們的和也是兩位數,并且是11的倍數.這三個數是_____.

　　思路導航：

　　三個連續的兩位數其和必是3的倍數,已知其和是11的倍數,而3與11互質,所以和是33的倍數,能被33整除的兩位數只有3個,它們是33、66、99.所以有

　　當和為33時,三個數是10,11,12；

　　當和為66時,三個數是21,22,23；

　　當和為99時,三個數是32,33,34.

　　所以，答案為 10,11,12或21,22,23或32,33,34。

　　[注]"三個連續自然數的和必能被3整除"可證明如下：

　　設三個連續自然數為n,n+1,n+2,則

　　n+(n+1)+(n+2)

　　=3n+3

　　=3(n+1)

　　所以， 能被3整除.

　　二、鞏固訓練

　　1.    有這樣的兩位數,它的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,它的兩個數字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數的和是____.

　　2.    一個小于200的自然數,它的每位數字都是奇數,并且它是兩個兩位數的乘積,那么這個自然數是_____.

　　3.    任取一個四位數乘3456,用A表示其積的各位數字之和,用B表示A的各位數字之和,C表示B的各位數字之和,那么C是_____.

　　4.    有0、1、4、7、9五個數字，從中選出四個數字組成不同的四位數，如果把其中能被3整除的四位數從小到大排列起來，第五個數的末位數字是_____.

　　1.  118

　　符合條件的兩位數的兩個數字之和能被4整除,而且比這個兩位數大1的數,如果十位數不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數一定是9,這種兩位數有:39、79.

　　所以,所求的和是39+79=118.

　　2． 195

　　因為這個數可以分解為兩個兩位數的積，而且15 15=225>200,所以其中至少有1個因數小于15,而且這些因數均需是奇數,但11不可能符合條件,因為對于小于200的自然數凡11的倍數,具有隔位數字之和相等的特點,個位百位若是奇數,十位必是偶數.所以只需檢查13的倍數中小于200的三位數13 13=169不合要求,13 15=195適合要求.所以,答案應是195.

　　3.  9