（四） 雞兔同籠

　　雞兔同籠問題是指雞與兔同在一個(gè)籠中，已知雞與兔的總頭數(shù)以及雞與兔的總足數(shù)，求雞和兔各是多少只的應(yīng)用題。這種類型題是古代趣題，在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中應(yīng)用廣泛，有著十分重要的使用價(jià)值。

　　雞兔問題，也叫簡(jiǎn)換問題。解答時(shí)，一般采用假設(shè)法，即假定全部的只數(shù)都是雞或者是兔，算出假定情況下的足數(shù)和實(shí)際上的足數(shù)和、足數(shù)差，然后推算出雞和兔的只數(shù)。

　　計(jì)算時(shí)的主要數(shù)量關(guān)系是：

　　1.如果假定全部是兔，則

　　雞的只數(shù)=（每只兔的足數(shù)×總頭數(shù)－總足數(shù)）÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）

　　簡(jiǎn)單理解就是：

　　雞的只數(shù)=（4 ×總頭數(shù)－總足數(shù)）÷2

　　兔的只數(shù)=總頭數(shù)－雞的只數(shù)

　　2.如果假定全部是雞，則

　　兔的只數(shù)=（總足數(shù)－每只雞的足數(shù)×總頭數(shù)） ÷（每一只雞與兔足數(shù)的差）

　　簡(jiǎn)單寫就是

　　兔的只數(shù)=（總足數(shù)－2 ×總頭數(shù)） ÷2

　　雞的只數(shù)=總頭數(shù)－兔的只數(shù)

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1. 雞兔同籠，共有100個(gè)頭，320只腳，問雞和兔各是多少只？

　　思路導(dǎo)航：

　　雞有2只腳，兔有4只腳，如果把兔子的兩只前腳用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，兩只后腳也用繩子捆起來，當(dāng)成一只腳，那么兔子和雞一樣，都是2只腳。雞和兔的總腳數(shù)就是100×2=200（只），但比實(shí)際320只腳要少320－200=120（只），為什么會(huì)少了120只腳呢？是因?yàn)槊恐煌米又凰阋恢磺澳_，一只后腳，而少算了一只前腳和一只后腳。也就是說每只兔子都少算了兩只腳，一共少算了120只腳，所以兔子應(yīng)該有120÷2=60（只）。

　　解法一：                     解法二：

　　2×100=200（只）                4×100=400（只）

　　320－200=120（只）            400－320=80（只）

　　120÷2=60（只）                80÷2=40（只）

　　100－60=40（只）              100－40=60（只）

　　答：雞有40只，兔有60只。

　　例2. 5元紙幣和2元紙幣總張數(shù)是200張，已知它們的總面值是940元，這兩種紙幣各多少張？

　　思路導(dǎo)航：

　　（1）假設(shè)200張紙幣完全是2元，共值：

　　2×200=400（元）

　　（2）比實(shí)際少：

　　940－400=540（元）

　　（3）2元換成5元，每張?jiān)黾樱?br />
　　5－2=3（元）

　　（4）5元紙幣有：

　　540÷3=180（張）

　　（5）2元紙幣有：

　　200－180=20（張）

　　答：有180張5元、20張2元紙幣。

　　例3. 雞兔同籠，雞比兔多25只，腳數(shù)共176只，雞、兔各多少只？

　　思路導(dǎo)航：

　　假設(shè)去掉多的25只雞，則一共去掉2×25=50（只）腳，那么176－50=126（只）腳是雞和兔一樣多的腳的總數(shù)量，而一對(duì)雞兔共有2＋4=6（只）腳，可以求出去掉25只雞以后一共多少對(duì)雞和兔，然后再加上去掉的25只雞。

　　2×25=50（只）

　　176－50=126（只）

　　2＋4=6（只）

　　126÷6=21（對(duì)）‥‥‥雞、兔各21只

　　21+25=46（只） ‥‥‥雞的只數(shù)

　　答：雞有46只，兔有21只。

　　二、鞏固訓(xùn)練

　　1.雞兔同籠，共有頭90只，腳252只。雞兔各多少只？

　　2.雞兔同籠，共有頭80只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)多40只，雞兔各多少只？

　　3.30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？

　　三、拓展提升

　　1.雞兔共100只，雞的腳數(shù)比兔少40只，雞兔各多少只？

　　2.46人去劃船，一共乘坐10條船，其中大船坐7人，小船坐4人，大、小船各多少條？

　　3.某車棚共停放三輪車和自行車共39輛，兩種車輪總和96個(gè)，三輪車和自行車各多少輛？

　　（五） 行程問題

　　行程問題是小學(xué)奧數(shù)中變化最多的一個(gè)專題，不論在奧數(shù)競(jìng)賽中還是在"小升初"的升學(xué)考試中，都擁有非常重要的地位。行程問題中包括：火車過橋、流水行船、沿途數(shù)車、獵狗追兔、環(huán)形行程、多人行程，等等。每一類問題都有自己的特點(diǎn)，解決方法也有所不同，但是，行程問題無論怎么變化，都離不開"三個(gè)量，三個(gè)關(guān)系"：

　　這三個(gè)量是：路程(s)、速度(v)、時(shí)間(t)

　　三個(gè)關(guān)系：1. 簡(jiǎn)單行程： 路程 = 速度 × 時(shí)間

　　2. 相遇問題： 路程和 = 速度和 × 時(shí)間

　　3. 追擊問題： 路程差 = 速度差 × 時(shí)間

　　牢牢把握住這三個(gè)量以及它們之間的三種關(guān)系，就會(huì)發(fā)現(xiàn)解決行程問題還是有很多方法可循的。

　　①    追擊及遇問題

　　一、例題與方法指導(dǎo)

　　例1.    有甲、乙、丙三人同時(shí)同地出發(fā)，繞一個(gè)花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲與乙、丙相背而行。甲每分鐘走40米，乙每分鐘走38米，丙每分鐘走36米。在途中，甲和乙相遇后3分鐘和丙相遇。問：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？思路導(dǎo)航：

　　這個(gè)三人行程的問題由兩個(gè)相遇、一個(gè)追擊組成，題目中所給的條件只有三個(gè)人的速度，以及一個(gè)"3分鐘"的時(shí)間。

　　第一個(gè)相遇：在3分鐘的時(shí)間里，甲、丙的路程和為（40+36）×3=228（米）    第一個(gè)追擊：這228米是由于在開始到甲、乙相遇的時(shí)間里，乙、丙兩人的速度差造成的，是逆向的追擊過程，可求出甲、乙相遇的時(shí)間為228÷ （38-36）=114（分鐘）

　　第二個(gè)相遇：在114分鐘里，甲、乙二人一起走完了全程

　　所以花圃周長(zhǎng)為（40+38）×114=8892（米）

　　我們把這樣一個(gè)抽象的三人行程問題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單的問題，使解題思路更加清晰。

　　例2.    東西兩地間有一條公路長(zhǎng)217.5千米，甲車以每小時(shí)25千米的速度從東到西地，1.5小時(shí)后，乙車從西地出發(fā)，再經(jīng)過3小時(shí)兩車還相距15千米。乙車每小時(shí)行多少千米？