二、改進(jìn)珠算法

　　《算法統(tǒng)宗》的另一特點(diǎn)是大部分題采用珠算，這也體現(xiàn)廠作者著眼于應(yīng)用的精神。珠算盤(pán)是一種構(gòu)造簡(jiǎn)單、價(jià)格低廉、容易攜帶的計(jì)算工具。珠算與籌算相比，運(yùn)算更為方便、迅速。但當(dāng)時(shí)的珠算方法還不夠完善，有的口訣也不夠順暢，于是程大位便花大力氣改進(jìn)珠算法及珠算口訣。他為了區(qū)別乘除法口訣，在卷一明確規(guī)定：“九九合數(shù)”應(yīng)“呼小數(shù)在上，大數(shù)在下”，“九歸歌”應(yīng)“呼大數(shù)在上，小數(shù)在下”。例如“六八四十八”是乘法口訣，“八六七十四”是除法口訣。書(shū)中記載著完整的撞歸口訣，如“一歸：見(jiàn)一無(wú)除作九一，起一下還一”；“二歸，見(jiàn)二無(wú)除作九二，起一下還二”等等。第六、七卷中，程大位還給出珠算開(kāi)平、立方的方法。雖不能肯定這是他的發(fā)明，但該書(shū)確是最早記載這種方法的古算書(shū)之一。(成書(shū)稍早于《算法統(tǒng)宗》而出版稍晚的朱載培《算學(xué)新說(shuō)》中也有珠算開(kāi)平、立方法。)書(shū)中的珠算定位法則應(yīng)歸功于程大位，因?yàn)楫?dāng)時(shí)流行的珠算書(shū)中都未提到。

　　吳敬的《九章算法比類(lèi)大全》中雖有定位法，但他是用于籌算。首次完整地?cái)⑹鲋樗愣ㄎ环ǖ氖恰端惴ńy(tǒng)宗》中的“定位總歌”：

　　“數(shù)家定位法為奇，因乘俱向下位推。

　　加減只需認(rèn)本位，歸與歸除上位施。

　　法多原實(shí)逆上數(shù)，法前得零順下宜。

　　法少原實(shí)降下數(shù)，法前得零逆上知。”

　　程大位十分重視珠算口訣，他認(rèn)為口訣是學(xué)珠算、用珠算的基礎(chǔ)，一定要記熟。他反復(fù)強(qiáng)調(diào)：“一要熟讀九歌，二要誦歸除歌法”，“學(xué)算之人須努力，先將九數(shù)時(shí)時(shí)習(xí)。”

　　三、補(bǔ)充面積公式

　　在用珠算法解決的各種實(shí)際問(wèn)題中，特別引人注目的是面積問(wèn)題。對(duì)于廣大農(nóng)村來(lái)說(shuō)，田畝測(cè)量是不可缺少的，所以程大位十分重視面積問(wèn)題。在《算法統(tǒng)宗》卷三“方田”中，他結(jié)合田畝測(cè)量總結(jié)出大量面積公式，并編成歌謠，給出圖形。這一卷所繪圖形60余種，其中比較基本的有十幾種，其他都是由這些圖形割補(bǔ)而成的。這十幾種圖形中，一些是《九章算術(shù)》中已有公式的，如方田(正方形)、直田(矩形)、圭田(三角形)、邪田(梯形)、圓田(圓形)、弧田(弓形)等，另一些圖形則是《九章算術(shù)》中沒(méi)有的，程大位分別給出公式。

　　對(duì)于計(jì)算結(jié)果、程大位既要求盡可能準(zhǔn)確，又主張根據(jù)—體情況適可而止。

　　程大位不用舊法而創(chuàng)立“截法”、就是為了計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確。他說(shuō)：“遇歪斜不等，必有斜步，豈可作正步相乘？若截之，庶無(wú)誤矣。”對(duì)于更加復(fù)雜的圖形，只用“截法”還不行，程大位便采用“截盈補(bǔ)虛”的方法，他說(shuō)：“田之形狀甚多，具載難盡，學(xué)者不必執(zhí)泥，在于臨場(chǎng)機(jī)變，必須截盈補(bǔ)虛，卑尖減大，以合規(guī)式。但田中央先取出方、直、勾股、圭、梭等形，另積旁余，并而于一，然后用法乘除之，用少?gòu)V章開(kāi)方等法還原，始為精密之術(shù)焉。”但他對(duì)準(zhǔn)確性的要求是有限度的，因?yàn)樗�著眼于�?yīng)用。他指出：“世之習(xí)算者，咸以方五斜七、圍三徑一為準(zhǔn)，殊不知方五則斜七有奇，徑一則圍三有奇”，可見(jiàn)他知道有更準(zhǔn)確的比值，但他認(rèn)為不一定使用，因?yàn)椋簲?shù)多則散漫難收”，即精確的數(shù)據(jù)位數(shù)多，計(jì)算起采太復(fù)雜，這在實(shí)際應(yīng)用中往往是沒(méi)有必要的。

　　四、創(chuàng)造丈量步車(chē)

　　為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)測(cè)量田畝的需要，程大位還創(chuàng)造了一種丈量步車(chē)，在《算法統(tǒng)宗》中繪有圖形并有詳細(xì)解說(shuō)；這種測(cè)量工具類(lèi)似于現(xiàn)在的卷尺，由環(huán)、十字架、轉(zhuǎn)軸、鎖、鉆角及纏在十字架內(nèi)的竹尺(薄竹片制成的尺)構(gòu)成，如圖6。這在當(dāng)時(shí)是一種很先進(jìn)的測(cè)量工具。程大位對(duì)自己的發(fā)明十分得意，在圖邊自題：“賓渠制造心機(jī)巧，隸首傳來(lái)數(shù)學(xué)精。”

　　五、寓算題于詩(shī)詞

　　除了《算法統(tǒng)宗》的內(nèi)容以外，我們從它的文字形式上也可以看出作者重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用與普及的思想。全書(shū)文字分為敘述性文字、詩(shī)詞歌訣及圖表中的文字三種形式，而詩(shī)詞貫穿全書(shū)，占了相當(dāng)大的比例。這些詩(shī)詞，既是優(yōu)美的文學(xué)作品，又是直接為數(shù)學(xué)服務(wù)的。例如“留頭乘”的歌訣是一首七絕：“下乘之法此為真，起于先將第二因，三四五來(lái)乘遍了，卻將本位破其身。”衰分章的一首《西江月》用來(lái)命題：“群羊一百四十，剪毛不憚勤勞，群中有母有羊羔，先剪二毛比較。大羊剪毛斤二，一十二兩羔毛，百五十斤是根苗，子母各該多少？”這些詩(shī)詞淺明易懂，生動(dòng)有趣，使讀者在學(xué)習(xí)珠算的過(guò)程中同時(shí)得到美的享受。再如盈肋章用來(lái)命題的一首五律：“今攜一壺酒，游春郊外走。逢朋添一倍，入店飲斗九。相逢三處店，飲盡壺中酒。試問(wèn)能算士，如何知原有？”此詩(shī)不僅朗朗上口，而且具有濃厚的生活氣息。讀罷全詩(shī)，仿佛在眼前展現(xiàn)出一幅情趣盎然的攜酒春游圖。這種大眾化的生動(dòng)詩(shī)歌，無(wú)疑會(huì)引起讀者的興趣。《算法統(tǒng)宗》寓算題于詩(shī)詞，賦予數(shù)學(xué)書(shū)以文學(xué)色彩，其普及數(shù)學(xué)的效果是顯而易見(jiàn)的。人們?cè)谟淇斓匦蕾p這些詩(shī)詞的同時(shí)，也就開(kāi)始了對(duì)數(shù)學(xué)的理解。《算法統(tǒng)宗》成為明清兩代流傳最廣泛的算書(shū)，甚至能超越國(guó)度，受到日本、朝鮮和東南亞各國(guó)人民的歡迎，其引人入勝的文字無(wú)疑是原因之一。