所謂天元術，就是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”相當于今“設x為某某”是一致的。在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術》，書中用文字敘述的方法建立了二次方程，但沒有明確的未知數概念。到唐代，王孝通已經能列出三次方程，但仍是用文字敘述的，而且尚未掌握列方程的一般方法。經過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了。隨著數學問題的日益復雜，迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術便在北宋應運而生了、洞淵、石信道等都是天元術的先驅。但直到李冶之前，天元術還是比較幼稚的，記號混亂、復雜，演算煩瑣。例如李冶在東平(今山東省東平縣)得到的一本講天元術的算書中，還不懂得用統一符號表示未知數的不同次冪，它“以十九字識其上下層，曰仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。”這就是說，以“人”字表示常數，人以上九字表示未知數的各正數次冪(最高為九次)，入以下九字表示未知數的各負數次冪(最低也是九次)，其運算之繁可見一斑。從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經》等書來看，天元術的作用還十分有限。李冶則在前人的基礎上，將天元術改進成一種更簡便而實用的方法。當時，北方出了不少算書，除《鈴經》外，還有《照膽》、《如積釋鎖》、《復軌》等，這無疑為李冶的數學研究提供了條件。特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內有九客之說，專講勾股容圓問題。此書對他啟發甚大。為了能全面、深入地研究天元術，李冶把勾股容圓(即切圓)問題作為一個系統來研究。他討論了在各種條件下用天元術求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

　　《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內切圓直徑的方法，而且給出一批新的求圓徑公式。卷一的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關系以及它們與圓徑的關系，共六百余條，每條可看作一個定理(或公式)，這部分內容是對中國古代關于勾股容圓問題的總結。后面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎上以天元術為工具推導出來。李冶總結出一套簡明實用的天元術程序，并給出化分式方程為整式方程的方法。他發明了負號和一套先進的小數記法，采用了從零到九的完整數碼。除O以外的數碼古已有之，是籌式的反映。但籌式中遇O空位，沒有符號O。從現存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶《數書九章》是較早使用O的兩本書，它們成書的時間相差不過一年�！稖y圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多。但書中用天元術導出許多高次方程(最高為六次)，給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握高次方程數值解法的。

　　《測圓海鏡》的成書標志著天元術成熟，它無疑是當時世界上第一流的數學著作。但由于內容較深，粗知數學的人看不懂。而且當時數學不受重視，所以天元術的傳播速度較慢。李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術是解決數學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術的必要性。他在結束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學數學，促使他寫一本深入淺出、便于教學的書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的。《測困海鏡》的研究對象是離生活較遠而自成系統的圓城圖式，《益古演段》則把天元術用于解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積。李冶大概認識到，天元術是從幾何中產生的。因此，為了使人們理解天元術，就需回顧它與幾何的關系，給代數以幾何解釋，而對二次方程進行幾何解釋是最方便的，于是便選擇了以二次方程為主要內容的《益古集》(11世紀蔣周撰)。正如《四庫全書·益古演段提要》所說：“此法(指天元術)雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入。惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見。”李冶是很樂于作這種普及工作的，他在序言中說：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

　　《益古演段》的價值不僅在于普及天元術，理論上也有創新首先，李冶善于用傳統的出入相補原理及各種等量關系來減少題目中的未知數個數，化多元問題為一元問題。其次，李冶在解方程時采用了設輔助未知數的新方法，以簡化運算。