第一講  行程問(wèn)題

　　走路、行車(chē)、一個(gè)物體的移動(dòng)，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量：

　　距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動(dòng)了多少米等等；

　　速度在單位時(shí)間內(nèi)（例如1小時(shí)內(nèi)）行走或移動(dòng)的距離；

　　時(shí)間行走或移動(dòng)所花時(shí)間.

　　這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來(lái)表示：

　　距離=速度×時(shí)間

　　很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說(shuō)，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見(jiàn)的，例如

　　總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).

　　工作量=工作效率×時(shí)間.

　　因此，我們從行程問(wèn)題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類(lèi)似的問(wèn)題.

　　當(dāng)然，行程問(wèn)題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問(wèn)題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會(huì)對(duì)一些問(wèn)題的思考方法和處理技巧.

　　這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。

　　1.1  追及與相遇

　　有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過(guò)了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問(wèn)題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，

　　甲走的距離-乙走的距離

　　= 甲的速度×時(shí)間-乙的速度×時(shí)間

　　=（甲的速度-乙的速度）×時(shí)間.

　　通常，“追及問(wèn)題”要考慮速度差.

　　例1 小轎車(chē)的速度比面包車(chē)速度每小時(shí)快6千米，小轎車(chē)和面包車(chē)同時(shí)從學(xué)校開(kāi)出，沿著同一路線行駛，小轎車(chē)比面包車(chē)早10分鐘到達(dá)城門(mén)，當(dāng)面包車(chē)到達(dá)城門(mén)時(shí)，小轎車(chē)已離城門(mén)9千米，問(wèn)學(xué)校到城門(mén)的距離是多少千米？

　　解：先計(jì)算，從學(xué)校開(kāi)出，到面包車(chē)到達(dá)城門(mén)用了多少時(shí)間.

　　此時(shí)，小轎車(chē)比面包車(chē)多走了9千米，而小轎車(chē)與面包車(chē)的速度差是6千米/小時(shí)

　　所用時(shí)間=9÷6＝1.5（小時(shí)）.

　　小轎車(chē)比面包車(chē)早10分鐘到達(dá)城門(mén)，面包車(chē)到達(dá)時(shí)，小轎車(chē)離城門(mén)9千米，說(shuō)明小轎車(chē)的速度是

　　面包車(chē)速度是 54-6＝48（千米/小時(shí)）.

　　城門(mén)離學(xué)校的距離是

　　48×1.5＝72（千米）.

　　答：學(xué)校到城門(mén)的距離是72千米.

　　例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問(wèn)家到公園多遠(yuǎn)？

　　解一：可以作為“追及問(wèn)題”處理.

　　假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是

　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分鐘）·

　　因此，小張走的距離是

　　75× 20＝ 1500（米）.

　　答：從家到公園的距離是1500米.

　　一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢？對(duì)不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.

　　例3 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車(chē)從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車(chē)去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分？

　　解：從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了

　　8-4＝4（千米）.

　　而爸爸騎的距離是 4＋ 8＝ 12（千米）.

　　這就知道，爸爸騎摩托車(chē)的速度是小明騎自行車(chē)速度的 12÷4＝3（倍）.按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.

　　但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了

　　4＋12＝16（千米）.

　　少騎行24-16＝8（千米）.

　　摩托車(chē)的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.

　　8＋8＋16＝32.

　　答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.

　　下面講“相遇問(wèn)題”.

　　小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么

　　甲走的距離+乙走的距離

　　=甲的速度×時(shí)間+乙的速度×時(shí)間

　　=（甲的速度+乙的速度）×時(shí)間.

　　“相遇問(wèn)題”，常常要考慮兩人的速度和.

　　例4 甲、乙兩車(chē)分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車(chē)速度不變，乙車(chē)每小時(shí)多行5千米，且兩車(chē)還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米；如果乙車(chē)速度不變，甲車(chē)每小時(shí)多行5千米，且兩車(chē)還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.

　　解：先畫(huà)一張行程示意圖如下

　　設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來(lái)都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.

　　下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.

　　在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12＋ 16＝ 28（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)

　　（或E點(diǎn)）相遇所用時(shí)間是

　　28÷5＝ 5.6（小時(shí)）.

　　比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6＝0.4（小時(shí)）.

　　甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是

　　12÷0.4＝30（千米/小時(shí)）.

　　同樣道理，乙的速度是

　　16÷0.4＝40（千米/小時(shí)）.

　　A到 B距離是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.

　　答： A，B兩地距離是 420千米.

　　很明顯，例7不能簡(jiǎn)單地說(shuō)成是“相遇問(wèn)題”.