話說在300年前的法國的Toulouse城，有一個地方議會的議員名叫費(fèi)馬（Pierre Fermat 1601—1665）。這人是律師出身，閑來無事不喜歡鶯歌燕語，或者作圍城之戰(zhàn)，或者信步在庭院里練武。可以說是一個喜歡安靜生活，不想追逐權(quán)利，淡泊功名的人。他懂幾種外國語文，有時就用希臘、拉丁或者西班牙文寫寫詩詞自我朗誦消遣。

但是他最喜歡的玩意兒是搞數(shù)學(xué)和作一點(diǎn)科學(xué)研究，有時他把所得到的結(jié)果寫信給在遠(yuǎn)方有同樣興趣的朋友，有時就把自己的心得寫在數(shù)學(xué)書的空白處。當(dāng)時還沒有出現(xiàn)數(shù)學(xué)雜志可以讓他發(fā)表他的研究心得。

在1621年時，丟番圖的那本“算術(shù)”書從希臘文翻譯成法文在法國出版，費(fèi)馬買到了這書后，對于數(shù)論的問題開始發(fā)生了興趣。在公余之后，就對一些希臘數(shù)學(xué)家的問題研究和推廣。

在丟番圖的書里有一部分是討論x²＋y²=z²的整數(shù)解的問題。費(fèi)馬在這部份的底頁上，寫了幾行字：“相反地，要把一個立方數(shù)分為兩個立方數(shù)，一個四次方數(shù)分為兩個四次方數(shù)。一般地，把一個大于2次方的乘方數(shù)分為同樣指數(shù)的兩個乘方數(shù)，都是不可能的；我確實發(fā)現(xiàn)了這個奇妙的證明，因為這里的篇幅不夠，我不能夠?qū)懺谶@個底頁上。”

好，我們現(xiàn)在把這段文字用代數(shù)方程寫下來，看看是什么樣子：

方程xⁿ＋yⁿ=zⁿ對于不等于零的正整數(shù)x，y，z，當(dāng)n大于2時，是沒有解的。

這個結(jié)果數(shù)學(xué)家稱為費(fèi)馬大定理或者費(fèi)馬最后定理（Fermat’s Last Theorem）。在數(shù)學(xué)中一個命題當(dāng)人們可以證明它是對的被稱為定理。可是以上的命題到現(xiàn)在三百多年了，沒有人證明它是對或者錯，而叫著“費(fèi)馬大定理”這的確是奇怪的地方。

我們提到的德國富翁保羅·烏斯克所提的高價求解的問題就是這個問題：費(fèi)馬定理是對呢還是錯？你現(xiàn)在是否想要獲得這獎金？如果想試一試，那么讓我再告訴你一些故事吧！

費(fèi)馬有沒有說謊

費(fèi)馬死后，他的大兒子把他的書信及一些手稿關(guān)于數(shù)學(xué)研究的成果匯集成書。人們很想知道費(fèi)馬怎么樣證明那個“大定理”，可惜在手稿中都找不到定理的證明。

費(fèi)馬是否不能證明，而故意在書頁上寫他證明了，而“自我欺騙”呢？像阿Q那樣的求得心靈上的一種安慰？

我想以他的才能和人品來看，他不會做這樣的事的。

在丟番圖的書上，費(fèi)馬也寫下了他的幾個研究結(jié)果，如：

（1）任何形如4n＋ 1的素數(shù)是可以唯一表示成二個整數(shù)的平方的和，4n-1不能表示為二個整數(shù)的平方的和。

（2）對于任何整數(shù)n和素數(shù)p，n^p－n可以被p整除。

（3）x²+2=y³只有一個解x=5，y=3

這些結(jié)果費(fèi)馬都沒有寫下他的證明。可是對于（1）18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）花了7年的時間才找到對（1）的證明。而對于（2），德國大數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）于1683年，以及歐拉在1749年也證明是對的。

費(fèi)馬在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)是很大的。他和帕斯卡（B．Pascal）通過書信討論賭博的問題里的數(shù)學(xué)規(guī)律，兩個成為古典概率論的基本理論的奠基者。他研究希臘阿波羅尼的圓錐曲線理論，而建立了座標(biāo)幾何的一些原理，可以說是和笛卡兒同樣是解析幾何的創(chuàng)立者。他利用曲線的性質(zhì)，研究極大極小問題，是微分積分學(xué)的先驅(qū)者。

在物理上他也有重要的發(fā)現(xiàn)，他知道：先從一點(diǎn)走到另外一點(diǎn)，通過不同種類的媒介質(zhì)而折射或者反射，它所選擇的路線一定是最短的。這理論到了1926年是物理上一個重要的分支“波動力學(xué)”的基本重要原理。

在1659年費(fèi)馬給他朋友的信中寫道：“如果有一個任意給的素數(shù)4n＋1不是二個整數(shù)的平方和。對于給定的這個素數(shù)，我們還可以找到比這個還小的形如4n＋1的素數(shù)也有同樣的性質(zhì)。因此用這個方法繼續(xù)找下去，也就是我發(fā)現(xiàn)的‘無窮下降法’，最后我們得到5這個素數(shù)，照理5是形如4n＋1，也該不是二個整數(shù)的平方和。可是這是明顯的錯誤，矛盾產(chǎn)生了！因此4n＋1形的素數(shù)一定是二個整數(shù)的平方和。”

費(fèi)馬用這種“無窮下降”的方法，可以證明x⁴+y⁴=z⁴沒有整數(shù)解，然后由這里他很容易證明x⁴＋y⁴=z⁴是沒有整數(shù)解。

由于費(fèi)馬對他的大定理在n=4時能證明，很可能他犯了錯誤，以為他這個方法是無往而不利，也能夠解決所有的情形。

引無數(shù)英雄競折腰

差不多三百年來有名的數(shù)學(xué)家都想要解決這個問題。法國的科學(xué)院，比利時的皇家科學(xué)院等數(shù)學(xué)團(tuán)體都曾懸賞給這個問題解決者，可惜沒有人能拿到。

當(dāng)然最令人刺激的是1908年德國保羅的獎金，當(dāng)這消息在美國報章宣布時，引起了許多看在錢的份上而去研究這問題的人的狂熱。有一個時期有許多關(guān)于一些沒有受過數(shù)學(xué)訓(xùn)練的人對這個問題解決的消息的宣布，可是事后證明他們的“證明”不是一竅不通就是胡說八道。

費(fèi)馬本身是對n=4時證明了，因此對于任何4的倍數(shù)n=4m，費(fèi)馬的方程可以寫成形如（x^m）⁴＋（y^m）⁴=（z^m）⁴，從而推得這方程無整數(shù)解。

現(xiàn)在對于一般的整數(shù)n，如果能表示為n=pm這里p是大于2的素數(shù)。則費(fèi)馬方程可以寫成：

（x^m）^p+（y^m）^p=（z^m）^p

如果我們能證明x^p＋y^p=z^p沒有整數(shù)解，那么以上的方程也沒有整數(shù)解。因此要證明費(fèi)馬定理是否是對，只要在對這方程有素數(shù)次方的情形來考慮就行了。

n=3的情形，歐拉在1770年給出證明。在1823年法國數(shù)學(xué)家勒讓得（Legendre）對n=5的情形給出證明，1839年拉梅（Lame）對n=7給出了證明。

160多年前，一個靠自己學(xué)習(xí)的巴黎小姐蘇菲·日耳曼（So－phie Germain）在費(fèi)馬大定理上也有重要的貢獻(xiàn)。她證明了如果p是奇素數(shù)，而且q=2p+1也是素數(shù)，那么x^p＋y^p＝zp沒有整數(shù)解。這樣對于小于100的所有奇素數(shù)這個問題就算解決了。

在這么多研究費(fèi)馬問題，最有成就的該是德國數(shù)學(xué)家?guī)炷瓲枺?/font>E．E．Kummer 1810—1893），他花了20年的時間想要解決費(fèi)馬問題，最后他以為成功，結(jié)果后來給人指出他的理論還有些缺陷不能窮究所有的情況。雖然是這樣他的工作對數(shù)學(xué)的進(jìn)展有很大的推動，他引進(jìn)了理想數(shù)的概念，建立了代數(shù)數(shù)論的重要基礎(chǔ)理論。他把素數(shù)分成正則和不正則兩類，費(fèi)馬方程對所有的正則素數(shù)是成立，因此主要工作是對不正則的素數(shù)來驗證，他知道小于164的不正則素數(shù)是：37，59，67，101，103，131，149，157因此證明了費(fèi)馬定理對于n小于100時都是成立的。

庫沫爾雖然沒法子全部徹底解決費(fèi)馬問題，但由于他創(chuàng)出了一個新的數(shù)學(xué)理論，以及對復(fù)數(shù)域深湛的研究，法國科學(xué)院頒給了他一個獎。

1955年美國數(shù)學(xué)家凡蒂文（H．S．Vandiver）用當(dāng)時最好的電子計算機(jī)，對小于4002的不正則素數(shù)，檢驗費(fèi)馬定理，發(fā)現(xiàn)費(fèi)馬的定理還是成立。

各種數(shù)學(xué)家想用他們熟悉的方法來攻克這個問題。這個問題的吸引力是多么的大，是多么的“如此多嬌，引無數(shù)英雄競折腰”，可惜全部是敗北而去，有些還發(fā)了瘋。圍繞著這個問題是不知產(chǎn)生多少可悲的故事。

本世紀(jì)最有力的分析學(xué)家勒貝格（H．Lebesque 1875—1941），他在分析上創(chuàng)造了所謂的“勒貝格積分理論”，在分析學(xué)上可以說是一個大革命，推進(jìn)了分析的發(fā)展。他晚年也沉迷于解決費(fèi)馬問題。最后他向法國科學(xué)院呈上了一份論文，據(jù)說用他的理論已可全部解決了費(fèi)馬定理。法國科學(xué)院非常高興，如果這是真的，法國可以向全世界驕傲，這個300年來最難的數(shù)學(xué)問題之一，已由他們本國人解決了。在一批數(shù)學(xué)家研究他的手稿后，發(fā)現(xiàn)他也是犯了錯誤，因此還是不成功。勒貝格在接回稿件時，喃喃自語：“我想，我這個錯誤是可以改正的。”可是直到他死前，他還不能解決這個問題。 

最新的發(fā)展

因為方程xⁿ＋yⁿ=zⁿ中的z不等于零，我們二邊除以zⁿ，就得到一

因此費(fèi)馬問題是等價于這樣的幾何問題：證明在n大于3的任何整數(shù)，曲線uⁿ+vⁿ=1在uv平面上不可能有有理數(shù)點(diǎn)。

這樣費(fèi)馬問題就變成了代數(shù)幾何的問題了。

在1974年于加拿大溫哥華舉辦的“國際數(shù)學(xué)家會議”頒發(fā)Field金牌獎給二個對數(shù)學(xué)有重要貢獻(xiàn)的年青數(shù)學(xué)家（這獎是數(shù)學(xué)界所能獲得的最高榮譽(yù)，等于科學(xué)上的諾貝爾獎）。其中之一是37歲的哈佛大學(xué)教授大偉·曼福特（David B．Mumford）。

他最近用代數(shù)幾何的工具證明了如果費(fèi)馬方程xⁿ+yⁿ＝zⁿ有整數(shù)解，那么這個解可以說是“非常的少”，這是目前對費(fèi)馬問題最接近解決的結(jié)果。他的方法是這樣：如果（x^m，y^m，z^m）是xⁿ＋yⁿ=zⁿ的無窮多解，我們根據(jù)z_m的大小來排這數(shù)組（x^m，y^m，z^m），由小排到大。那么我們就能找到一個常數(shù)a大于零和另外一個常數(shù)b，使得z_m恒大于10^10am+b，這個數(shù)是像天文數(shù)字那么大！

費(fèi)馬問題還沒有完全解決，如果讀者有興趣可以先試試對n＝3和5的情形證明，然后再往前走。對了，有一點(diǎn)要說清楚的是：那個十萬馬克的獎金，由于德國在1920年爆發(fā)了非常嚴(yán)重的通貨膨脹，鈔票跌值驚人，這十萬馬克變成了一文不值。

英國數(shù)學(xué)家莫迭（Mordell）曾經(jīng)講述：“如果你想發(fā)財，任何種方法都比證明這個費(fèi)馬定理還要容易的多。”因此請不要為這不見了的十萬馬克的獎金而難過。

如果你還對數(shù)學(xué)有興趣，那么就請你在茶余飯后或者夜深人靜時想想底下的幾個問題：

1．一個農(nóng)民要買每頭價80元的牛和每頭價50元的豬，他現(xiàn)在有810元，問能買幾頭牛和豬？（答：牛2頭豬13頭，或者牛7頭豬5頭。）

2．證明x²－3y²=17沒有整數(shù)解；

3．證明x²+5=y³沒有整數(shù)解；

4．x³＋y³=2z³，x，y，z的最大公約數(shù)是1只能有一個正整數(shù)解x=y＝z=1。