拓撲學(tuòpūxué)(topology)是近代發(fā)展起來的一個數(shù)學分支，用來研究各種‘空間’在連續(xù)性的變化下不變的性質(zhì)。在20世紀，拓撲學發(fā)展成為數(shù)學中一個非常重要的領域Topology原意為地貌，起源于希臘語Τοπολογ。形式上講，拓撲學主要研究“拓撲空間”在“連續(xù)變換”下保持不變的性質(zhì)。簡單的說，拓撲學是研究連續(xù)性和連通性的一個數(shù)學分支。

　　拓撲學起初叫形勢分析學，是德國數(shù)學家萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀中期，德國數(shù)學家黎曼在復變函數(shù)的研究中強調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢分析學。從此開始了現(xiàn)代拓撲學的系統(tǒng)研究。

　　莫比烏斯曲面“連通性”最簡單的拓撲性質(zhì)。上面所舉的空間的例子都是連通的。而“可定向性”是一個不那么平凡的性質(zhì)。我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。這樣的空間是可定向的。而德國數(shù)學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面不能用不同的顏色來涂滿。莫比烏斯曲面是一種“不可定向的”空間。可定向性是一種拓撲性質(zhì)。這意味著，不可能把一個不可定向的空間連續(xù)的變換成一個可定向的空間。

　　有關拓撲學的一些內(nèi)容早在十八世紀就出現(xiàn)了。那時候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。譬如哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發(fā)展史的重要問題。