解析：兩個整數甲和乙，如果甲能被乙整除，那么甲與乙的差仍能被乙整除。由于每家電話號碼能被門牌號整除，所以電話號碼與門牌號的差也能被門牌號整除。電話號碼是12個連續的自然數，門牌號也是1、2、3、、、12這12個連續的自然數，每家的電話號碼與門牌號的差是同一個整數。它能被1、2、3、、、12這12個數整除，因此它是1、2、3、、、12這12個數最小公倍數的倍數，即27720的倍數，可以寫成：27720×某個整數。

　　門牌號是9的這一家，電話號碼是：27720×某個整數+9。因為它能被13整除，9除以13的余數是9，那么27720×某個整數除以13的余數應該是4，而27720=13×2132+4，27720×某個整數=（13×2132+4）×某個整數，說明4×某個整數除以13的余數是4，那么某個整數除以13的余數應該是1，這樣的整數可能是1、14、27、、、、

　　由于這家的電話號碼首位小于6，經嘗試，27720×14+9=388089符合題意.所以，這家電話號碼是388089