例 3 三個質數的和為 122，求這三個質數的乘積的最大值。 解：因為三個質數的和為 122 是偶數，所以這三個質數當中必定有一個數是偶數，另外兩個質數都是奇數。在質數中，2 是唯一的偶數，故三個質 數中有一個質數是 2。

　　另外兩個質數的和為定值(120)，為使這兩個質數的乘積盡可能地大， 就要使該兩個質數的差值盡可能地小，因為 1202÷2=60，所以得到 59 和 61 兩個質數，是和為 120 且差為最小的兩個質數，它們的積也就最大。

　　綜合以上情況，和為 122 的三個質數中，以 2、59、61 這三個質數的乘 積最大，最大乘積為 2×59×61=7198。

　　答：三個質數的乘積的最大值是 7198。 說明：注意“如果兩個整數的和一定，那么當這兩個數的差值盡可能小時，其乘積最大”。

　　例如，和為 11 的兩個整數有如下五種情況：1+10、2+9、3+8、4+7、5+6，相對應的乘積是 10、18、24、28、30，通過比較，可得“和為 11，其 積最大的兩個整數是 5 和 6”。

　　例 4 如果 325×472+765×895×( )的積的最后五個數字都是零， 那么括號內填入的自然數最小可以是多少?(上海市 1989 年小學六年級數學比賽題)

　　解：

　　要使五個數的連乘積的最后五個數字都是 0，這個連乘積一定是 100000 的倍數，把 100000 分解質因數：100000=2⁵×5⁵。

　　說明要使連乘積的末尾有五個零，因數中至少應該有五個2 和五個5。因為325=5²×13， 765=3×5×51，472=2³×59，895=5×179四個數的乘積里一共包含了 4 個 5 和 3 個 2，必須要再乘以兩個 2 和一 個 5，所以括號里應填 22×5=20。

　　答：在括號內最小可以是 20。

　　例 5 360 這個數的約數有多少個?這些約數的和是多少?(第三屆華羅庚金杯賽決賽題)

　　解：把 360 分解質因數是：360=2³×3²×5，所以 360 的任何一個約數都 是從三個質數 2、二個質數 3、一個質數 5 中取若干個出來相乘得到的。

　　23 的約數是 1、2、4、8(或 1、21、22、23);

　　32 的約數是 1、3、9(或 1、31、32);

　　5 的約數是 1、5(或 1、51)。 如果我們把下面的式子

　　(l+2+4+8)×(1+3+9)×(1+5) 展開成一個和式，和式中的每一個加數都是在每個括號里各取一個數相乘的 積。由前面的分析可得，360 的任一個約數都恰好是這個展開式中的一個加 數。由于第一個括號里有 4 個數，第二個括號里有 3 個數，第三個括號里有2 個數，所以這個展開式中的加數個數是 4×3×2=24，這就是 360 的約數的總個數，這些約數是：

　　1×1×1=1，2×1×1=2，4×1×1=4，8×1×1=8，

　　1×1×5=5，2×1×5=10，4×1×5=20，8×1×5=40，

　　1×3×1=3，2×3×1=6，4×3×1=12，8×3×1=24，

　　1×3×5=15，2×3×5=30，4×3×5=60，8×3×5=120，

　　1×9×1=9， 2×9×1=18，4×9×1=36，8×9×1=72，

　　1×9×5=45，2×9×5=90，4×9×5=180，8×9×5=360。

　　(你能知道上面每個等式中，三個數相乘的由來嗎?)

　　另一方面，360 的所有約數的和就等于這個展開式的和，也就是(1+21+22+23)×(1+31+32)×(1+51)=1170。

　　答： 360 的約數有 24 個，這些約數的和是 1170。

　　說明：本題中的二個問題的解法具有一般性，并由此可以得出下面二個結論。

　　若 自然數 N 可以分解質因數為：

　　(其中 a、b、C 為不同的質數，m、s、t 為自然數)， 則(1)自然數 N 的約數的總個數是(m+1)·(s+1)·(t+1);

　　(2)自然數 N 的所有約數的總和是

　　以上兩個結論可以推廣到一般的情況。

　　例 6 A、B 兩數都只含有質因數 3 和 5，它們的最大公約數是 75，已知 A 有 12 個約數，B 有 10 個約數，那么 A、B 兩數的最小公倍數是多少?

　　解：因為 A、B 兩數都只含有質因數 3 和 5，所以設 A=3^m·5ⁿ，B=3^s·5^t。 因為 A、B 兩數的最大公約數是 75=3×5²，所以，n≥2，t≥2。

　　又因為 A 有 12 個約數，根據例 8 后的說明可得(m+1)

　　·(n-1)=12=(1 十 1)·(5+1)=(2+1)·(3+1)=(3+1)

　　·(2+1)。所以 A 有三種可能：

　　3×5⁵ 或 3²×5³ 或 3³×5²。 同理，因為乙有 10 個約數，可得

　　(s+1)·(t+1)=10=(1 十 1)·(4+1)， 所以 B=3×5⁴=1875。

　　由于 A、B 的最大公約數是 3×5²，所以 A 只能是 3³×5²=673。這樣可得 A、B 兩數的最小公倍數是 3³×5⁴=16875。

　　答：A、B 兩數的最小公倍數是 16875。