三、余數(shù)
在整數(shù)除法運(yùn)算中，除了前面說(shuō)過(guò)的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例如 95÷3， 48÷5.不能整除就產(chǎn)生了余數(shù).通常的表示是：
65÷3＝21…… 2， 38÷5＝7…… 3.
上面兩個(gè)算式中2和3就是余數(shù)，寫成文字是
被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù).
上面兩個(gè)算式可以寫成
65＝3×21＋2， 38＝5×7＋3.
也就是
被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù).
通常把這一算式稱為帶余除式，它使我們?nèi)菀讖?ldquo;余數(shù)”出發(fā)去考慮問(wèn)題，這正是某些整數(shù)問(wèn)題所需要的.
特別要提請(qǐng)注意：在帶余除式中，余數(shù)總是比除數(shù)小，這一事實(shí)，解題時(shí)常作為依據(jù).
例17 5397被一個(gè)質(zhì)數(shù)除，所得余數(shù)是15.求這個(gè)質(zhì)數(shù).
解：這個(gè)質(zhì)數(shù)能整除
5397-15＝5382，
而 5382＝2×31997×13×23.
因?yàn)槌龜?shù)要比余數(shù)15大，除數(shù)又是質(zhì)數(shù)，所以它只能是23.
當(dāng)被除數(shù)較大時(shí)，求余數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)便方法是從被除數(shù)中逐次去掉除數(shù)的整數(shù)倍，從而得到余數(shù).
例18 求645763除以7的余數(shù).
解：可以先去掉7的倍數(shù)630000余15763，再去掉14000還余下 1763，再去掉1400余下363，再去掉350余13，最后得出余數(shù)是6.這個(gè)過(guò)程可簡(jiǎn)單地記成
645763→15763→1763→363→13→6.
如果你演算能力強(qiáng)，上面過(guò)程可以更簡(jiǎn)單地寫成：
645763→15000→1000→6.
帶余除法可以得出下面很有用的結(jié)論：
如果兩個(gè)數(shù)被同一個(gè)除數(shù)除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)數(shù)之差就能被那個(gè)除數(shù)整除.
例19 有一個(gè)大于1的整數(shù)，它除967，1000，2001得到相同的余數(shù)，那么這個(gè)整數(shù)是多少？
解：由上面的結(jié)論，所求整數(shù)應(yīng)能整除 967，1000，2001的兩兩之差，即
1000-967＝33＝3×11，
2001-1000＝1001＝7×11×13，
2001-967＝1034＝2×11×47.
這個(gè)整數(shù)是這三個(gè)差的公約數(shù)11.
請(qǐng)注意，我們不必求出三個(gè)差，只要求出其中兩個(gè)就夠了.因?yàn)榱硪粋�(gè)差總可以由這兩個(gè)差得到.
例如，求出差1000-967與2001-1000，
那么差
2001-967＝（2001-1000）＋（1000-967）
＝1001＋33
＝1034.
從帶余除式，還可以得出下面結(jié)論：
甲、乙兩數(shù)，如果被同一除數(shù)來(lái)除，得到兩個(gè)余數(shù)，那么甲、乙兩數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)之和被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).
例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余數(shù)是5＋9＝14被13除的余數(shù)1.
例20 有一串?dāng)?shù)排成一行，其中第一個(gè)數(shù)是15，第二個(gè)數(shù)是40，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)恰好是前面兩個(gè)數(shù)的和，問(wèn)這串?dāng)?shù)中，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)是多少？
解：我們可以按照題目的條件把這串?dāng)?shù)寫出來(lái)，再看每一個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)有什么規(guī)律，但這樣做太麻煩.根據(jù)上面說(shuō)到的結(jié)論，可以采取下面的做法，從第三個(gè)數(shù)起，把前兩個(gè)數(shù)被3除所得的余數(shù)相加，然后除以3，就得到這個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，這樣就很容易算出前十個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，列表如下：
從表中可以看出，第九、第十兩數(shù)被3除的余數(shù)與第一、第二兩個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)相同.因此這一串?dāng)?shù)被3除的余數(shù)，每八個(gè)循環(huán)一次，因?yàn)?/font>
1998＝ 8×249＋ 6，
所以，第1998個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)，應(yīng)與第六個(gè)數(shù)被3除的余數(shù)一樣，也就是2.
一些有規(guī)律的數(shù)，常常會(huì)循環(huán)地出現(xiàn).我們的計(jì)算方法，就是循環(huán)制.計(jì)算鐘點(diǎn)是
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.
這十二個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)循環(huán).
按照七天一輪計(jì)算天數(shù)是
日，一，二，三，四，五，六.
這也是一個(gè)循環(huán)，相當(dāng)于一些連續(xù)自然數(shù)被7除的余數(shù)
0， 1， 2， 3， 4， 5， 6
的循環(huán).用循環(huán)制計(jì)算時(shí)間：鐘表、星期、月、四季，說(shuō)明人們很早就發(fā)現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象.用數(shù)來(lái)反映循環(huán)現(xiàn)象也是很自然的事.
循環(huán)現(xiàn)象，我們還稱作具有“周期性”，12個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說(shuō)周期是12，7個(gè)數(shù)的循環(huán)，就說(shuō)周期是7.例20中余數(shù)的周期是8.研究數(shù)的循環(huán)，發(fā)現(xiàn)周期性和確定周期，是很有趣的事.
下面我們?cè)倥e出兩個(gè)余數(shù)出現(xiàn)循環(huán)現(xiàn)象的例子.在講述例題之前，再講一個(gè)從帶余除式得出的結(jié)論：
甲、乙兩數(shù)被同一除數(shù)來(lái)除，得到兩個(gè)余數(shù).那么甲、乙兩數(shù)的積被這個(gè)除數(shù)除，它的余數(shù)就是兩個(gè)余數(shù)的積，被這個(gè)除數(shù)除所得的余數(shù).
例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27＝999被 11除的余數(shù)是 4×5＝20被 11除后的余數(shù) 9.
1997＝7×285＋2，就知道1997×1997被7除的余數(shù)是2×2＝4.
