數(shù)學(xué)家看問題，總想找規(guī)律.我們學(xué)數(shù)學(xué)，也要向他們學(xué)習(xí).找規(guī)律，要從簡單的情況著手，仔細(xì)觀察，得到啟示，大膽猜想，找出一般規(guī)律，還要進(jìn)行驗證，最后還需要證明（在小學(xué)階段不要求同學(xué)們進(jìn)行證明）.
例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個點連起來，這個圖形就叫做線段.這兩個點就叫線段的端點，如圖8—1—1所示.不難看出，線段也可以看成是直線上兩點間的部分.如果一條直線上標(biāo)出11個點，如圖8—1—2所示，任何兩點間的部分都是一條線段，問共有多少條線段.
解：先從簡單的情況著手.
（1）畫一畫，數(shù)一數(shù)：（見圖8—1—3）
（2）試著分析：
2個點，線段條數(shù)：1=1
3個點，線段條數(shù)：3=2+1
4個點，線段條數(shù)：6=3+2+1
5個點，線段條數(shù)：10=4+3+2+1
（3）大膽猜想：一條直線上有若干點時線段的條數(shù)總是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比點數(shù)小1.
（4）進(jìn)行驗證：對于更多點的情況，對猜想進(jìn)行驗證，看猜想是否正確，如果正確，就增加了對猜想的信心.如：
6個點時：對不對？
——對.見圖 8—1—4.
線段條數(shù)：5+4+3+2+1=15（條）.
（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題.
當(dāng)直線上有11個點時，線段的條數(shù)應(yīng)是：
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（條）.
例2 如圖8—2中（1）～（5）所示兩條直線相交只有1個交點，3條直線相交最多有3個交點，4條直線相交最多有6個交點，……那么，11條直線相交最多有多少交點？
解：從簡單情況著手研究：
（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)
圖8-2
（2）試著分析：
直線條數(shù) 最多交點數(shù)
1 0
2 1=1
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
（3）大膽猜想：若干條直線相交時，最多的交點數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和，其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1.
（4）進(jìn)行驗證：見圖8—3.取6條直線相交，畫一畫，數(shù)一數(shù)，看一看最多交點個數(shù)與猜想的是否一致，若相符，則更增強(qiáng)了對猜想的信心.
用猜想的算法進(jìn)行計算：最多交點數(shù)應(yīng)是
5+4+3+2+1=15（個）.
（5）應(yīng)用規(guī)律：應(yīng)用猜想到的規(guī)律解決更復(fù)雜的問題.當(dāng)有11條直線相交時，最多的交點數(shù)應(yīng)是：
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（個）.
例3 如圖8—4所示，一張大餅，切1刀最多切成2塊，切2刀最多切成4塊，切3刀最多切成7塊，……問切10刀最多切成多少塊？
解：從最簡單情況著手研究.
（1）畫一畫、數(shù)一數(shù)
（2）試著分析：
所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)
0 1
1 2=1+1
2 4=1+1+2
3 7=1+1+2+3
4 11=1+1+2+3+4
（3）大膽猜想：把一張大餅切若干刀時，切成的最多塊數(shù)等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1.其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù).
（4）進(jìn)行驗證：見圖8—5對大餅切5刀的情況用兩種方法求解，看結(jié)果是否一致，若一致則更增強(qiáng)了對猜想的信心.
①數(shù)一數(shù)：16塊.
②算一算：1+1+2+3+4+5=16（塊）.
（5）應(yīng)用規(guī)律：把大餅切10刀時，最多切成的塊數(shù)是：
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=1+55
=56（塊）.
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