例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖.
總點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的三角形點(diǎn)群(但要上下顛倒放置)和原有的那個(gè)三角形點(diǎn)群共同拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群，則顯然有下式成立(見下圖)：
三角形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2
因三角形點(diǎn)數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9
而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=10×9=(1+9)×9
代入上面的文字公式可得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2=45.
進(jìn)一步把兩種方法聯(lián)系起來(lái)看：
方法1是老老實(shí)實(shí)地直接數(shù)數(shù).
方法2可以叫做“拼補(bǔ)法”.經(jīng)拼補(bǔ)后，三角形點(diǎn)群變成了長(zhǎng)方形點(diǎn)群，而長(zhǎng)方形點(diǎn)群的點(diǎn)數(shù)就可以用乘法算式計(jì)算出來(lái)了.
即1+2+3+4+5+6+7+8+9
=(1+9)×9÷2.
這樣從算法方面講，拼補(bǔ)法的作用是把一個(gè)較復(fù)雜的連加算式變成了一個(gè)較簡(jiǎn)單的乘除算式了.這種方法在700多年前的中國(guó)的古算書上就出現(xiàn)了.
再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
這個(gè)等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個(gè)數(shù)1又叫首項(xiàng)，最后一個(gè)數(shù)9叫末項(xiàng)，共有9個(gè)數(shù)又可以說(shuō)成共有9項(xiàng)，這樣，等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半.或是寫成下面的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
這個(gè)文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式.
例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)點(diǎn)?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖：
總點(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6=20.
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的梯形點(diǎn)群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個(gè)長(zhǎng)方形點(diǎn)群如下圖所示：
由圖可見，有下列等式成立：
梯形點(diǎn)數(shù)=長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)÷2.
因?yàn)樘菪吸c(diǎn)數(shù)=2+3+4+5+6
而長(zhǎng)方形點(diǎn)數(shù)=8×5=(2+6)×5
代入上面的文字式，可得：
2+3+4+5+6=(2+6)×5÷2
與例1類似，我們用拼補(bǔ)法得到了一個(gè)計(jì)算梯形點(diǎn)群總點(diǎn)數(shù)的較為簡(jiǎn)單的公式.
再進(jìn)一步，若脫離開圖形(點(diǎn)群)的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
這個(gè)等式的左邊就是一個(gè)等差數(shù)列的求和式，它的首項(xiàng)是2，末項(xiàng)是6，公差是1，項(xiàng)數(shù)是5.這樣這個(gè)等式的含義就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)的積的一半.
寫成下面較簡(jiǎn)化的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2
這就是等差數(shù)列的求和公式.
例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個(gè)小三角形?
解：方法1：從上至下一層一層地?cái)?shù)，見下圖.
小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個(gè).
方法2：補(bǔ)上一個(gè)同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來(lái)的一起拼成一個(gè)大平行四邊形如下圖所示.
顯然平行四邊形包含的小三角形個(gè)數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個(gè)數(shù)的兩倍，即下式成立.
大三角形中所含=平行四邊形所含÷2
平行四邊形所含=8×4=(1+7)×4(個(gè))
大三角形中所含=1+3+5+7=16
代入上述文字式：
1+3+5+7=(1+7)×4÷2
這樣，我們就得到了一個(gè)公式：
小三角形個(gè)數(shù)=(第一層的數(shù)+最末層的數(shù))×層數(shù)÷2
脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進(jìn)行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實(shí)：
等式左邊就表示一個(gè)等差數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，它的首項(xiàng)是1，末項(xiàng)是7，公差是2，項(xiàng)數(shù)是4.這樣這個(gè)等式的含義也就可以用下面的語(yǔ)言來(lái)表述：
等差數(shù)列前幾項(xiàng)的和等于首項(xiàng)加末項(xiàng)之和乘以項(xiàng)數(shù)之積的一半.
寫成較簡(jiǎn)單的文字式：
和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2.
