六年級奧數及答案：同余問題

　　1、求437×309×1993被7除的余數。

　　思路分析：如果將437×309×1993算出以后，再除以7，從而引得到，即437×309×1993=269120769，此數被7除的余數為1。但是能否尋找更為簡變的辦法呢？

　　437≡3（mod7）

　　309≡1（mod7）

　　由“同余的可乘性”知：

　　437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）

　　又因為1993≡5（mod7）

　　所以：437×309×1993≡3×5（mod7）

　　≡15（mod7）≡1（mod7）

　　即：437×309×1993被7除余1。

　　2、70個數排成一行，除了兩頭的兩個數以外，每個數的三倍恰好等于它兩邊兩個數的和，這一行最左邊的幾個數是這樣的：0，1，3，8，21，……，問這一行數最右邊的一個數被6除的余數是幾？

　　思路分析：如果將這70個數一一列出，得到第70個數后，再用它去除以6得余數，總是可以的，但計算量太大。

　　即然這70個數中：中間的一個數的3倍是它兩邊的數的和，那么它們被6除以后的余數是否有類似的規律呢？

　　0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余數依次是

　　0，1，3，2，3，1，0，……

　　結果余數有類似的規律，繼續觀察，可以得到：

　　0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……

　　可以看出余數前12個數一段，將重復出現。

　　70÷2=5……10，第六段的第十個數為4，這便是原來數中第70個數被6除的余數。

　　思路分析：我們被直接用除法算式，結果如何。

　　3、分別求滿足下列條件的最小自然數：

　　（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。

　　（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。

　　（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。

　　（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。

　　思路分析：

　　（1）該數減去1以后，是3，5和7的最小公倍數105，所以該數的是105+1=106

　　（2）該數減去1以后是5和7的公倍數。因此我們可以以5和7的公倍數中去尋找答案。下面列舉一些同時被5除余1，被7除余1的數，即

　　1，36，71，106，141，176，211，246，……從以上數中尋找最小的被3除余2的數。

　　36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合條件的最小的數是71。

　　（3）我們首先列舉出被5除余2，被7除余2的數，2，37，72，107，142，177，212，247，……

　　從以上數中尋找最小的被3除余1的數。

　　2（mod3），37≡（mod3）、因此符合條件的最小的數是37。

　　（4）我們從被11除余1的數中尋找答案。

　　1，12，23，34，45，56，67，78，89，100，133，144，155，166，177，188，199，210，232，243，……

　　1（mod3）； 1（mod7）， 不符合

　　12≡0（mod3）， 12≡5（mod7） 不符合

　　23≡2（mod3）， 23≡2（mod7） 不符合

　　34≡1（mod3）， 34≡6（mod7） 不符合

　　45≡0（mod3）， 45≡3（mod7） 不符合

　　56≡2（mod3）， 56≡0（mod7） 不符合

　　67≡1（mod3）， 67≡4（mod7） 不符合

　　78≡0（mod3）， 78≡1（mod7） 不符合

　　89≡2（mod3）， 89≡5（mod7） 不符合

　　100≡1（mod3）， 100≡2（mod7） 不符合

　　122≡2（mod3）， 122≡3（mod7） 不符合

　　133≡1（mod3）， 133≡0（mod7） 不符合

　　144≡1（mod3）， 144≡4（mod7） 不符合

　　155≡2（mod3），155≡1（mod7） 不符合

　　166≡1（mod3），166≡5（mod7） 不符合

　　177≡0（mod3），177≡2（mod7） 不符合

　　188≡2（mod3），188≡6（mod7） 不符合

　　199≡1（mod3），199≡3（mod7） 不符合

　　210≡0（mod3），210≡0（mod7） 不符合

　　221≡2（mod3），221≡4（mod7） 符合

　　因此符合條件的數是221。

　　4、判斷以下計算是否正確

　　（1）42784×3968267=1697598942346

　　（2）42784×3968267=1697598981248

　　思路分析：若直接將右邊算出，就可判斷

　　41784×3968267=169778335328，可知以上兩結果均是錯的；但是計算量太大。

　　如果右式和左式相等，則它們除以某一個數余數一定相同。因為求一個數除以9的余數只需要先求這個數數字之和除以9的余數，便是原數除以9的余數。我考慮上式除以9的余數，如果余數不相同，則上式一定不成立。

　　（1）從個位數字可知，右式的個位數字只能是8，而右式個位為6，因此上式不成立。

　　（2）右式和左式的個位數字相同，因而無法斷定上式是否成立，但是

　　4+2+7+8+4=25， 25≡7（mod9）

　　3+9+6+8+2+6+7=41，41≡5（mod9）

　　42784≡7（mod9）；3968267≡5（mod9）

　　42784×3968267≡35（mod9）

　　≡8（mod9）

　　（1+6+9+7+5+9+8+9+4+2+3+4+8）≡3（mod9）

　　因此（2）式不成立

　　以上是用“除9取余數”來驗證結果是否正確，常被稱為“棄九法”。

　　不過應該注意，用棄九法可發現錯誤，但用棄九法沒找出錯誤卻不能保證原題一定正確。