1、有一把長(zhǎng)為9厘米的直尺，你能否在上面只標(biāo)出3條刻度線，使得用這把直尺可以量出從1至9厘米中任意整數(shù)厘米的長(zhǎng)度？
分析：可以。（1）標(biāo)3條刻度線，刻上A，B，C厘米（都是大于1小于9的整數(shù)），那么，A，B，C，9這4個(gè)數(shù)中，大減小兩兩之差，至多有6個(gè)：9-A，9-B，9-C，C-A，C-B，B-A，加上這4個(gè)數(shù)本身，至多有10個(gè)不同的數(shù)，有可能得到1到9這9個(gè)不同的數(shù)。（2）例如刻在1，2，6厘米處，由1，2，6，9這4個(gè)數(shù)，以及任意2個(gè)的差，能夠得到從1到9之間的所有整數(shù)：1，2，9-6=3，6-2=4，6-1=5，6，9-2=7，9-1=8，9。（3）除1，2，6之外，還可以標(biāo)出1，4，7這3個(gè)刻度線：1，9-7=2，4-1=3，4，9-4=5，7-1=6，7，9-1=8，9。另外，與1，2，6對(duì)稱的，標(biāo)出3，7，8；與1，4，7對(duì)稱的，標(biāo)出2，5，8也是可以的。
2、一個(gè)三位數(shù)，如果它的每一位數(shù)字都不超過(guò)另一個(gè)三位數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字，那么就稱它被后下個(gè)三位數(shù)“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何數(shù)都可以被與它相同的數(shù)吃掉），但240和223互相都不能被吃掉。現(xiàn)請(qǐng)你設(shè)計(jì)6個(gè)三位數(shù)，它們當(dāng)中任何一個(gè)都不能被其它5個(gè)數(shù)吃掉，并且它們的百位數(shù)字只允許取1，2，3，4。問(wèn)這6個(gè)三位數(shù)分別是多少？
分析：6個(gè)三位數(shù)都不能互吃，那么其中任意兩個(gè)數(shù)，都不能同時(shí)有2個(gè)數(shù)位相同。由于百位只取1，2，十位只取1，2，3，所以，只能讓3個(gè)數(shù)百位是1，另外3個(gè)數(shù)百位數(shù)是2。百位是1的3個(gè)數(shù)，分別配上十位1，2，3；百位是2的3個(gè)數(shù)同樣。這樣先保證前兩位沒(méi)有完全一樣的。即：11*，12*，13*，21*，22*，23*。11*最小，個(gè)位應(yīng)取取最大的，4，它要求另外5個(gè)數(shù)個(gè)位均小于4。114 12*較小，個(gè)位應(yīng)取3，它要求前兩位能吃12*的數(shù)，個(gè)位小于3。123 13*個(gè)位取2，就不能吃前兩數(shù)，同時(shí)它要求前兩位能吃13*的數(shù)個(gè)位小于2。132 21*較小，個(gè)位應(yīng)取3，才能不被23*和22*吃。213 22*個(gè)位取2即可。222 23*各位必須取1。231 所以這6個(gè)數(shù)是114，123，132，213，222，231。
3、盒子里放著紅、黃、綠3種顏色的鉛筆，并且規(guī)格也有3種：短的、中的和長(zhǎng)的。已知盒子的鉛筆，3種顏色和3種規(guī)格都齊全。問(wèn)是否一定能從中選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同？
分析：如果能選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規(guī)格上各不相同，則這3支筆必須包含紅、黃、綠，短、中、長(zhǎng)這6個(gè)因子，即不能有重復(fù)因子出現(xiàn)。但是這種情況并不能保證出現(xiàn)。例如，盒子中有4種筆：紅短，黃短，綠中，綠長(zhǎng)，3種顏色和3種規(guī)格都齊全，由于紅和黃只出現(xiàn)1次，必須選，但是這時(shí)短已經(jīng)出現(xiàn)2次，必然無(wú)法滿足3支筆6個(gè)因子的要求。所以，不一定能選出。
4、一個(gè)立方體的12條棱分別被染成白色和紅色，每個(gè)面上至少要有一條邊是白色的，那么最少有多少條邊是白色的？
分析：立方體的12條棱位于它的6個(gè)面上，每條棱都是兩個(gè)相鄰面的公用邊，因此至少有3條邊是白色的，就能保證每個(gè)面上至少有一條邊是白色。如圖就是一種。
5、國(guó)際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個(gè)4×4的棋盤(pán)至少要放幾個(gè)皇后？
分析：2×2棋盤(pán)，1個(gè)皇后放在任意一格均可控制2×2=4格；3×3棋盤(pán)，1個(gè)皇后放在中心格里即可控制3×3=9格；4×4棋盤(pán)，中心在交點(diǎn)上，1個(gè)皇后不能控制兩條對(duì)角線，還需要1個(gè)皇后放在拐角處控制邊上的格。所以至少要放2個(gè)皇后。如圖所示。
6、在如圖10-1所示表格第二行的每個(gè)空格內(nèi)，填入一個(gè)整數(shù)，使它恰好表示它上面的那個(gè)數(shù)字在第二行中出現(xiàn)的次數(shù)，那么第二行中的5個(gè)數(shù)字各是幾？
分析：設(shè)第二行從左到右填入A，B，C，D，E，則A+B+C+D+E=5 若E大于0，如E=1，則B=1，A+C+D=3，小于4，矛盾，可得：E=0，A大于0小于4； 若D大于0，如D=1，則B大于0，因A大于0，則A和C無(wú)法填寫(xiě)，所以D=0，A必等于2； A=2，可知B+C=3，只有當(dāng)B=1，C=2時(shí)，ABCDE=21200，符合要求。 所以第二行的5個(gè)數(shù)字是2，1，2，0，0。
7、在100個(gè)人之間，消息的傳遞是通過(guò)電話進(jìn)行的，當(dāng)甲與乙兩個(gè)人通話時(shí)，甲把他當(dāng)時(shí)所知道的信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲。請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個(gè)人都知道其他所有人的信息。
分析：給100個(gè)人分別編號(hào)1-100，他們知道的消息也編上相同的號(hào)碼。 （1）2-50號(hào)每人給1號(hào)打1次電話，共49次，1，50號(hào)得到1-50號(hào)消息。同時(shí)，52-100號(hào)每人給51號(hào)打1次電話，共49次，51，100號(hào)得到51-100號(hào)消息。 （2）1號(hào)和51號(hào)通1次電話，50號(hào)和100號(hào)通1次電話，這時(shí)1，50，51，100號(hào)這4個(gè)人都知道了1-100號(hào)消息。 （3）2-49號(hào)，52-99號(hào)，每人與1號(hào)（或者50，51，100號(hào)中的任意1人）通1次話，這96人也全知道了1-100號(hào)消息。 這個(gè)方案打電話次數(shù)一共是（49+49）+2+96=196（次）。
8、有一張8×8的方格紙，每個(gè)方格都涂上紅、藍(lán)兩色之一。能否適當(dāng)涂色，使得每個(gè)3×4小長(zhǎng)方形（不論橫豎）的12個(gè)方格中都恰有4個(gè)紅格和8個(gè)藍(lán)格？
分析：能。3×4=12，有4紅8藍(lán)，即紅1藍(lán)2，橫豎方向都按這個(gè)規(guī)律染成下圖的樣子。
9、桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動(dòng)1993枚，第二次翻動(dòng)其中的1992枚，第三次翻動(dòng)其中的1991枚，……，依此類推，第1993次翻動(dòng)其中的一枚。能否恰當(dāng)?shù)剡x擇每次翻動(dòng)的硬幣，使得最后所有的硬幣原先朝下的一面都朝上？
分析：可以。 按要求一共翻動(dòng)1+2+3+……+1993=1993×997，平均每個(gè)硬幣翻997次，是奇數(shù)。而每個(gè)硬幣翻奇數(shù)次，結(jié)果都是把原來(lái)朝下的一面翻上來(lái)。因?yàn)椋?993×997=1993+（1992+1）+（1991+2）+……+（997+996） 所以，可以這樣翻動(dòng)： 第1次翻1993個(gè)，每個(gè)全翻1次； 第2次與第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每個(gè)翻了一遍； 第3次與第1992次（倒數(shù)第2次），第4次與第1991次，……，第997次與第998次也一樣，都可以把每個(gè)硬幣全翻1次。這樣每個(gè)都翻動(dòng)了997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。
10、能否在5×5方格表的各個(gè)小方格內(nèi)分別填入數(shù)1，2，……，24，25，使得從每行中都可以選擇若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和等于該行中其余各數(shù)之和？
分析：不能。
假設(shè)可以使每行中都可以選擇若干個(gè)數(shù)，這些數(shù)的和等于該行中其余各數(shù)之和，那么每行數(shù)的和一定為偶數(shù)，5行之和也必定為偶數(shù)。1+2+3+……+25的和是奇數(shù)，不符合要求，假設(shè)的情況不能出現(xiàn)。
11、把圖10-2中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問(wèn)：能否使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？
分析：不能。 假設(shè)每條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，五角形有五條邊，奇數(shù)之和是奇數(shù)，則五條線上的紅圈，包括重復(fù)，共有奇數(shù)個(gè)。另一方面，每個(gè)圈為兩線交點(diǎn)，每個(gè)圓圈算了兩次，總個(gè)數(shù)為偶數(shù)。兩者矛盾，假設(shè)不成立。所以，不能使同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。
12、在99枚外觀相同的硬幣中，要找出其中的某些偽幣。已知每枚偽幣與真幣的重均相差奇數(shù)克，而所給硬幣的總重量恰等于99枚真幣的重量。今有能標(biāo)明兩盤(pán)重量之差的天平，證明：只要稱一次即可辨別出預(yù)先選擇的一枚硬幣是否偽幣。
分析：已知每枚偽幣與真幣的重均相差奇數(shù)克，99個(gè)硬幣總重量恰等于99枚真幣的重量，說(shuō)明偽幣數(shù)為偶數(shù)。 如果拿出1個(gè)真幣，剩下的98個(gè)里還是有偶數(shù)個(gè)偽幣，隨便分成兩部分放天平上，重量之差必為偶數(shù)。 如果拿出1個(gè)偽幣，剩下的98個(gè)里是有奇數(shù)個(gè)偽幣，隨便分成兩部分放天平上，重量之差必為奇數(shù)。
所以，只要把98個(gè)硬幣分兩部分在天平上稱，顯示出的重量差只要是奇數(shù)，拿出來(lái)的那個(gè)一定是偽幣。
13、在象棋比賽中，勝者得1分；敗者扣1分；若為平局，則雙方各得0分。今有若干名學(xué)生進(jìn)行比賽，每?jī)蓚�(gè)人之間都賽一局。現(xiàn)知，其中一個(gè)學(xué)生共得7分，另一個(gè)學(xué)生共得20分。試說(shuō)明，在比賽過(guò)程中至少有過(guò)一次平局。
分析：設(shè)7分者勝X局，負(fù)Y局；20分者勝M(fèi)局，負(fù)N局，則有X-Y=7，M-N=20 假設(shè)沒(méi)有1次平局，那么由于比賽局?jǐn)?shù)相同，得到：X+Y=M+N，X+Y+M+N為偶數(shù)。 另一方面，因?yàn)閄-Y=7，X和Y兩個(gè)數(shù)奇偶性不同，兩者之和為奇數(shù)；又因?yàn)镸-N=20，可知M和N奇偶性相同，那么M+N為偶數(shù)。得出的結(jié)果是：X+Y+M+N之和為奇數(shù)。
矛盾。說(shuō)明沒(méi)有平局的假設(shè)不成立。所以，比賽過(guò)程中至少有一次平局。
14、如圖10-3，在3×3的方格表中已經(jīng)填入了9個(gè)整數(shù)。如果將表中同一行同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的整數(shù)稱為一次操作。問(wèn)：你能否通過(guò)若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)？
分析：不能。 如果進(jìn)行操作后，表中9個(gè)數(shù)能變?yōu)橄嗤臄?shù)，其和必能整除3；因?yàn)槊看尾僮魇峭恍谢蛲涣械?個(gè)數(shù)加上相同的整數(shù)，增加的數(shù)也能整除3。那么，原來(lái)表中的9個(gè)數(shù)的和也必能整除3。把表中的9個(gè)數(shù)相加，2+3+5+13+11+7+17+19+23=100，100不能整除3，與假設(shè)矛盾，所以不能實(shí)現(xiàn)。
15、今有長(zhǎng)度為1，2，3，……，198，199的金屬桿各一根，能否用上全部的金屬桿，不彎曲其中的任何一根，把它們焊成接成 （1）一個(gè)正方體框架？（2）一個(gè)長(zhǎng)方體框架？
分析：（1）不能。 正方體有12條棱，金屬桿長(zhǎng)度之和能被12整除時(shí)，才能不彎曲任何一根焊成正方體框架。1+2+3+……+199=19900，1+9+9=19，19不能整除3，所以長(zhǎng)度之和不是12的整數(shù)倍。 （2）可以。
（1+198）+（2+197）+（3+196）+……+199，可以組成100個(gè)199，所以可以構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)199×12，寬199×12，高199的長(zhǎng)方體框架，棱長(zhǎng)共（199×12+199×12+199）×4=199×100；也可以構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)199×20，寬199×3，高199×2的長(zhǎng)方體框架，棱長(zhǎng)共（199×20+199×3+199×2）×4=199×100；等等。
