【教學內容】

　　涉及4個或4個以上的對象，已知數量關系，不便直接運用，與其它知識相關聯的復雜和差倍問題。

　　【典型問題】

　　1. 四年級有4個班，不算甲班其余三個班的總人數是131人；不算丁班其余三個班的總人數是134人；乙、丙兩班的總人數比甲、丁兩班的總人數少1人，問這四個班共有多少人？

　　解答：用131+134=265，這是1個甲、丁和2個乙、丙的總和，因為乙、丙兩班的總人數比甲、丁兩班的總人數少1人，所以用265-1=264就剛好是3個乙、丙的和，264÷3=88，就是說乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89，所以四個班的和是88+89=177人.

　　2. 有四個數，其中每三個數的和分別是45，46，49，52，那么這四個數中最小的一個數是多少？

　　解答：大家想想，我如果把4個數全加起來是什么？實際上是每個數都加了3遍！大家一定要記住這種思想！（45+46+49+52）÷3=64就是這四個數的和，題目要求最小的數，我就用64減去52（某三個數和最大的）就是最小的數，等于12.

　　3. 在一個兩位數之間插入一個數字，就變成一個三位數。例如：在72中間插入數字6，就變成了762。有些兩位數中間插入數字后所得到的三位數是原來兩位數的9倍，求出所有這樣的兩位數。

　　解答：對于這個題來說，首先要判斷個位是多少，這個數的個位乘以9以后的個位還等于原來的個位，說明個位只能是0或5！先看0，很快發現不行，因為20×9=180，30×9=270，40×9=360等等，不管是幾十乘以9，結果百位總比十位小，所以各位只能是5。略作計算，不難發現：15，25，35，45是滿足要求的數

　　4. 某班買來單價為0.5元的練習本若干，如果將這些練習本只給女生，平均每人可得15本；如果將這些練習本只給男生，平均每人可得10本。那么，將這些練習本平均分給全班同學，每人應付多少錢?

　　解答：對于這種問題，如果給一個學過工程問題的學生來做的話，簡直太簡單了，但工程問題是六年級的內容，四年級的學生怎么辦呢？我們可以這樣考慮：我就假設班上有2個女生（動動腦筋，為什么不假設成有1個女生？），那么就一共有30個練習本，進而推出有3個男生，用30÷（2+3）=6，說明每人應該有6個練習本，所以每人要付3元錢.

　　5. 動物園的飼養員給三群猴子分花生，如只分給第一群，則每只猴子可得12粒；如只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分給第三群，則每只猴子可得20粒，那么平均分給三群猴子，每只可得多少粒？

　　解答：和上個題目一樣我想找到1個數，它既是12的倍數，又是15的倍數，還要是20的倍數。你能找到嗎？可以找到最小的是60，那么我就假設共有60粒花生，那么可以算出來第一群猴子有5個，第二群猴子有4個，第三群猴子有3個，那就一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每個猴子是5粒.

　　6. 一個整數，減去它被5除后余數的4倍是154，那么原來整數是多少？

　　解答：首先，被除數除以除數，余數肯定小于除數。所以在這個題里，余數肯定不大于4，這就確定了原來整數只能是：154+4×0，154+4×1，154+4×2，154+4×3，154+4×4中的一個，檢驗一下，很快得到結果是154+4×2=162.

　　7. 若干名家長（爸爸或媽媽，他們都不是老師）和老師陪同一些小學生參加某次數學競賽，已知家長和老師共有22人，家長比老師多，媽媽比爸爸多，女老師比媽媽多2人，至少有1名男老師，那么在這22人中，爸爸有多少人？

　　解答：家長比老師多，所以老師少于22÷2=11人，也就是不超過10人，家長就不少于12人。在至少12個家長中，媽媽比爸爸多，所以媽媽要多于12÷2=6人，也就是不少于7人。因為女老師比媽媽多2人，所以女老師不少于9人，但老師最多就10個，并且還至少有1個男老師，所以老師必須是10個（9個女老師，1個男老師），家長12個人中，有7個媽媽，那么爸爸就有12-7=5人.

　　8. 一次數學考試共有20道題，規定：答對一題得2分，答錯一題扣1分，未答的題不計分。考試結束后，小明共得23分，他想知道自己做錯了幾道題，但只記得未答的題的數目是個偶數。請你幫助小明計算一下，他答錯了多少道題？

　　解答：20個題，如果全部做對的話，可以得20×2=40分。如果不答1道題的話就要少2分，如果做錯一道的話就要少3分。小明得了23分，比總分少40-23=17分。因為沒有做的題是偶數，所以我們可以先想想如果有0道題沒答的話，17分都是做錯了少的，可是17÷3=5…2，不可能！再考慮如果有2道題沒做的情況，2道題沒做就少4分，還有17-4=13分是因為做錯了少的，13÷3=4…1，也不可能！考慮4道題沒做的話，就少了8分，還有17-8=9分是因為做錯了少的，9÷3=3，所以有3道題是做錯的.

　　9. 某種商品的價格是：每一個1分錢，每五個4分錢，每九個7分錢，小趙的錢至多能買50個，小李的錢至多能買500個。小李的錢比小趙的錢多多少分錢？

　　解答：先在腦袋里算一下，是不是九個7分錢最合算啊？先看小趙：50÷9=5…5，所以他有5×7+4=39分錢；再看小李：500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分錢，那么小李就比小趙多389-39=350分錢。千萬不要認為用（500-50）÷9×7=350就可以了，比如我把500換成400，方法就不對了！

　　10. 某幼兒園的小班人數最少，中班有27人，大班比小班多6人。春節分桔子25箱，每箱不超過60個，不少于50個，桔子總數的個位數字是7。若每人分19個，則桔子數不夠，現在大班每人比中班每人多分一個，中班每人比小班每人多分一個，剛好分完。問這時大班每人分多少桔子？小班有多少人？（本題是本講中最難的問題！！！）

　　解答：首先桔子的個數在1250（=25×50）和1500（=25×60）之間。下面大家幫我看以下兩種分桔子的辦法的區別是多少？（1）大班每人a+1個，中班每人a個，小班每人a-1個；（2）無論大中小班，每人a個。在第一種分法中，我讓大班的孩子每人都拿出來1個去補給小班的孩子，每人補1個，因為大班人比小班多6人，所以最后就還多6個桔子。

　　如果我從所有桔子中拿出6個來，就可以使得原題中的第一種分法變為我的第二種分法。因為桔子的總數個位是7，減去6后的個位是1，這么多桔子可以分給所有的孩子，并且讓每人一樣多，所以總的人數和每人所分到的桔子數都是奇數！！

　　但很明顯每人19個是不夠的，所以只能是每人17個，15個，13個等等，15個當然不可能了（因為任何數乘以15后，各位不是5就是0），下面我們來看看可不可能是13個或更少：至少有1250個桔子，1250÷13=96…2，那么至少有96人，那么大班與小班和起來就至少96-27=69人。可是小班人最少不會超過中班的27人，所以大班小班和起來不應該超過27+（27+6）=60人，這與我剛才的結果是矛盾的！所以每人不可能是13個或者更少，這就說明了每人應該是17個蘋果。

　　現在總的蘋果數個位是7-6=1，每人17個蘋果，所以總的人數個位應該是3！！再看：1250÷17=73…9，1500÷17=88…4，這時就可以找到總人數一定是83。因為如果是73的話，桔子還沒有分完。所以大班小班共有83-27=56人，用和差問題的公式可以很快得到小班人數是：（56-6）÷2=25人.

　　11. 一個正方體木塊放在桌子上，每一面都有一個數，位于對面兩個數的和都等于13，小張能看到頂面和兩個側面，看到的三個數和為18；小李能看到頂面和另外兩個側面，看到的三個數的和為24，那么貼著桌子的這一面的數是多少？

　　解答：大家先想想，我如果用18加上24的話，得到是哪幾個面的和？是4個側面和2個頂面的和！四個側面的和應該是：13+13=26，這時就可以計算出頂面的數是：（18+24-26）÷2=8，于是底面的數是：13-8=5.

　　A

　　B

　　C

　　東

　　北

　　12. 左圖是一個道路圖。A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個孩子到過路口B，問：先后共有多少個孩子到過路口C？

　　解答：自己先嘗試一下假設A處有1個孩子，2個孩子時有什么問題，發現后來就會出現半個孩子的情況，這是不行的，所以再假設有4個，8個，16個孩子，發現后來還是會出現半個孩子，于是我們就假設A處有32個孩子吧！（自己動動腦筋：為什么是1，2，4，8，16，32這些數？這些數有什么規律嗎？）最后經過計算能發現C處有8個孩子經過，B處有10個孩子經過。但事實上B處有60個孩子經過，所以原來A處就應該是6個32個孩子！所以就有8×6=48個孩子經過C點.

　　13. 比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長相等。縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。如果一個足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個足球應有白色正六邊形皮子多少塊？

　　解答：先算黑皮子共有多少條邊：12×5=60條。這60條邊都是與白皮子縫合在一起的，對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的，那么白皮子就應該一共有60×2=120條邊，120÷6=20，所以共有20塊白皮子.

　　14. 5個空瓶可以換1瓶汽水，某班同學喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買汽水多少瓶？

　　解答：大致上可以這樣想：先買161瓶汽水，喝完以后用這161個空瓶還可以換回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把這32瓶汽水退掉，這樣一算，就發現實際上只需要買161-32=129瓶汽水。可以檢驗一下：先買129瓶，喝完后用其中125個空瓶（還剩4個空瓶）去換25瓶汽水，喝完后用25個空瓶可以換5瓶汽水，再喝完后用5個空瓶去換1瓶汽水，最后用這個空瓶和最開始剩下的4個空瓶去再換一瓶汽水，這樣總共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水.

　　15. 現有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個數比第二堆多，第二堆蘋果個數比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個，那么在剩下的蘋果中，第一堆個數是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，則第二堆所剩下的蘋果數是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數之和的最大值是多少？

　　解答：這種題和第十題一樣，好做但是不好講，關鍵在于如何能讓四年級的學生聽明白！

　　從第一個條件開始：從每堆蘋果中各取出一個，在剩下的蘋果中，第一堆個數是第二堆的三倍，這時假設第二堆是1份蘋果，那么第一堆就是3份蘋果，差2份蘋果。再看第二個條件：從每堆蘋果中各取出同樣多個，使得第一堆還剩34個，第二堆所剩下的蘋果數是第三堆的2倍，因為是從每堆蘋果中各取出同樣多個，所以第二堆還是比第一堆少2份蘋果，所以這個2份應該比34個要少（大家自己考慮一下為什么不能相等？）所以一份最多就16個，于是在第二個條件時，第二堆還有34-16×2=2個，第三堆還有2÷2=1個，所以回到第一個條件時，第二堆應該是1份16個蘋果，第三堆少一個是15個，第一堆是3份共16×3=48個蘋果，所以在最開始分別有49，17，16個，總共有49+17+16=82個.