1. 一個回文數是指從首位數讀到末位數，與從末位數讀到首位數都相同的數（例如：11511，22222，10001）。請問可被11整除的五位數的回文數個數與全部五位數的回文數的個數之比是多少？答案請用最簡分數表示。

　　解答：五位回文數的一般形式為ABCDE，所以五位回文數共有9×10×10=900個。若五位回文數能被11整除，則2a+c與2b的差是11的倍數，即2a+c－2b=11，2a+c－2b=22，2b－（2a+c）=11或2b=2a+c。

　　若2a+c－2b=11，則c為奇數，當c=1時，a－b=5，b=0，1，2，3，4；當c=3時，a－b=4，b=0，1，2，3，4，5；當 c=5 時，a－b=3，b=0，1，2，3，4，5，6；當c=7時，a－b=2，b=0，1，2，3，4，5，6，7；當c=9 時，a－b=1，b=0，1，2，3，4，5，6，7，8。共35個數。

　　若2a+c－2b=22，則c為偶數，且不小于4，當c=4時，a－b=9，b=0；當c=6時，a－b=8，b=0，1；當c=8時，a－b=7，b=0，1，2。共6個數。

　　若2b－（2a+c）=11，則c為奇數，當c=1時，b－a=6，a=1，2，3；當c=3時，b－a=7，a=1，2；當c=5時，b－a=8，a=1；c=7或9時，a和b無法同時為1位數，所以共有6個數。

　　若2b=2a+c，則c為偶數，當c=0時，a=b，a=1，2，3，4，5，6，7，8，9；當c=2 時，b=a+1，a=1，2，3，4，5，6，7，8；當c=4時，b=a+2，a=1，2，3，4，5，6，7；當c=6 時，b=a+3，a=1，2，3，4，5，6；當c=8時，b=a+4，a=1，2，3，4，5。共35個數。

　　所以能被11整除的五位回文數有35+6+6+35=82個，與全部五位回文數的個數之比為41/450

　　2.兩個班各出3名學生組成一隊，參加接力賽，要求同班的三個人不全相鄰，則共有多少種排列方法？

　　3.有10張撲克牌，點數分別為1，2，3，…，9，10。從中任意取出若干張牌，為了使其中必有幾張牌的點數之和等于15，問最少要取多少張牌?

　　解答：若只取5張牌，有可能不滿足條件，例如1，2，8，9，10。因此，最少取的張數不小于6。下面證明6可以滿足條件。

　　可以將5-10分成3組：{5，10}，{6，9}，{7，8}，每組至多選一個

　　則若在1，2，3，4中任意選三個數，它們的和一定在上面三組數中，即6個數必有若干個之和為15。

　　4.從1,2,3,4,5,6,7,8中選出一些數（至少選一個，不能不選），使它們的和為4的倍數，一共有幾種方法？

　　解答：先從3,4,5,6,7,8中隨便選幾個（可以不選）。之后根據在3,4,5,6,7,8中選出數的和除以4的余數來決定選不選1,2，方法如下：若那個和除以4 余1則1,2都選；余2則選2不選1；余3則選1不選2；余0則都不選。這樣總共有2的6次方共64種方法，但是其中有一種一個數都不選的方法，需要去掉，故滿足條件的選法有63種。

　　5.一根繩子，對折4次后，在三個四等分點上各剪一刀將繩子剪成了若干段小繩子，這些小繩子有兩種長度．　其中，較長的有多少條？較短的有多少條？

　　解答：對折4次后，共16層，剪斷后繩子的端點共有16×2×3+2=98個，而每條繩子有2個端點，所以此時共有49條繩子。而兩端的連接處共有1+2+4+8=15個，則較長的繩子有15條，較短的有49—15=34條。

　　6. 一容器內有濃度為40%的糖水，若再加入20千克水與5千克糖，則糖水的濃度變為30%。這個容器內原來含有糖多少千克？

　　解：實際上加入的是濃度為5/(20+5)×100%=20%的糖水，即用40%的糖水與20%的糖水混合得到30%的糖水。由此可知，原來40%的糖水也有25千克，所以原來含糖25×40%=10千克。

　　7. 在下面的“□”中填上合適的運算符號，使等式成立：

　�。�1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=1992

　　解：（1×9×9+2）×（1+9-9+2）×（19-9-2）

　　=83×3×8

　　=1992

　　或（1×9×9＋2）×（1×9÷9×2）×（19-9+2）

　　=83×2×12

　　=1992