余數、同余與周期
一、同余的定義：
①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。
②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。
二、同余的性質：
�、僮陨硇裕篴≡a(mod m)；
②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；
③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；
�、芎筒钚裕喝鬭≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；
�、蕹朔叫裕喝鬭≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；
�、咄缎�:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、關于乘方的預備知識：
�、偃鬉=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b
�、谌鬊=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余數特征：
①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；
�、谝粋�自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、費爾馬小定理：
如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。
