11．定義新運算

　　基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

　　基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本運算過程、規律進行運算。

　　關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

　　注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。

　　②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

　　12．數列求和

　　等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

　　基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；

　　項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

　　公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

　　通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

　　數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示．

　　基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d；

　　通項＝首項＋（項數一1) ×公差；

　　數列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；

　　數列和＝（首項＋末項）×項數÷2；

　　項數公式：n= (an+ a1)÷d＋1；

　　項數=（末項-首項）÷公差＋1；

　　公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；

　　公差=（末項－首項）÷（項數－1）；

　　關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；雪帆提示：推導出來的東西要熟記，可以利用植樹問題推到！

　　13．二進制及其應用

　　十進制：用0～9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以

　　234=200+30+4=2×10²+3×10+4。

　　=A_n×10^n-1+A_n-1×10^n-2+A_n-2×10^n-3+A_n-3×10^n-4+A_n-4×10^n-5+A_n-6×10_n-7+……+A₃×10²+A₂×10¹+A₁×10⁰

　　注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數）

　　二進制：用0～1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。

　　（2）= A_n×2^n-1+A_n-1×2^n-2+A_n-2×2^n-3+A_n-3×2^n-4+A_n-4×2^n-5+A_n-6×2^n-7

　　+……+A₃×2²+A₂×2¹+A₁×2⁰

　　注意：An不是0就是1。

　　十進制化成二進制：

　　①根據二進制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0，然后把每次所得的余數按自下而上依次寫出即可。

　　②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進制展開式特點即可寫出。

　　14．加法乘法原理和幾何計數

　　加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m₁種不同方法，在第二類方法中有m₂種不同方法……，在第n類方法中有m_n種不同方法，那么完成這件任務共有：m₁+ m₂....... +m_n種不同的方法。

　　關鍵問題：確定工作的分類方法。

　　基本特征：每一種方法都可完成任務。

　　乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m₁種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m₂種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有m_n種方法，那么完成這件任務共有：m₁×m₂....... ×m_n種不同的方法。

　　關鍵問題：確定工作的完成步驟。

　　基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

　　直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

　　直線特點：沒有端點，沒有長度。

　　線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

　　線段特點：有兩個端點，有長度。

　　射線：把直線的一端無限延長。

　　射線特點：只有一個端點；沒有長度。

　　①數線段規律：總數＝1+2+3+…+（點數一1）；

　　②數角規律=1+2+3+…+（射線數一1）；

　　③數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數：

　　④數長方形規律：個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數

　　15．質數與合數

　　質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

　　合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。

　　質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

　　分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。

　　分解質因數的標準表示形式：N=，其中a₁、a₂、a₃……a_n都是合數N的質因數，且a₁<a₂<a₃<……<a_n。

　　求約數個數的公式：P=(r₁+1)×(r₂+1)×(r₃+1)×……×(r_n+1)

　　互質數：如果兩個數的最大公約數是1，這兩個數叫做互質數。

　　16．約數與倍數

　　約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

　　公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。

　　最大公約數的性質：

　　1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

　　2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

　　3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

　　4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

　　例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；

　　18的約數有：1、2、3、6、9、18；

　　那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

　　那么12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6；

　　求最大公約數基本方法：

　　1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

　　2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

　　3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

　　公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。

　　12的倍數有：12、24、36、48……；

　　18的倍數有：18、36、54、72……；

　　那么12和18的公倍數有：36、72、108……；

　　那么12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；

　　最小公倍數的性質：

　　1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

　　2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

　　求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

　　17．數的整除

　　一、基本概念和符號：

　　1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有余數，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。

　　2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；

　　二、整除判斷方法：

　　1. 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

　　2. 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

　　3. 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

　　4. 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

　　5. 能被7整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

　　6. 能被11整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

　　②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

　　③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

　　7. 能被13整除：

　　①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

　　②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

　　三、整除的性質：

　　1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

　　2. 如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

　　3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

　　4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

　　18．余數及其應用

　　基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余數，q叫做a除以b的不完全商。

　　余數的性質：

　　①余數小于除數。

　　②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

　　③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

　　④a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數。

　　19．余數、同余與周期

　　一、同余的定義：

　　①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

　　②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對于模m同余，記作a≡b(mod m)，讀作a同余于b模m。

　　二、同余的性質：

　　①自身性：a≡a(mod m)；

　　②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；

　　③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；

　　④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；

　　⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；

　　⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則aⁿ≡bⁿ(mod m)；

　　⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；

　　三、關于乘方的預備知識：

　　①若A=a×b，則M^A=M^a×b=（M^a）^b

　　②若B=c+d則M^B=M^c+d=M^c×M^d

　　四、被3、9、11除后的余數特征：

　　①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；

　　②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；

　　五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則a^p-1≡1(mod p)。

　　20．分數與百分數的應用

　　基本概念與性質：

　　分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

　　分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

　　分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

　　百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

　　常用方法：

　　①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

　　②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

　　③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

　　④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

　　⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。

　　⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

　　⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。

　　⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發生變化的狀況。