七、比和比例

　　比和比例的知識是小學(xué)階段數(shù)學(xué)最后學(xué)習(xí)的內(nèi)容。比和過去學(xué)過的除法、分?jǐn)?shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別，比例是用比的知識來定義的。因此學(xué)好這部分內(nèi)容，既要有數(shù)的概念與四則運算知識的扎實基礎(chǔ)，又要能用新的觀點來闡明數(shù)量間的關(guān)系，例如學(xué)習(xí)正比例與反比例的有關(guān)知識時，就要善于觀察一種量是怎樣隨著另一種量的變化而變化的。

　　比和比例不僅應(yīng)用非常廣泛，而且是小學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識。由于學(xué)生的基礎(chǔ)參差不齊，理解能力有高有低，因此學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時常常產(chǎn)生一些錯誤。

　　例 1 一輛汽車3小時行駛184千米。寫出汽車所行路程與時間的比。

　　[解]汽車所行的路程與時間的比是184∶3。

　　[常見錯誤]

　　汽車所行的路程與時間的比是3∶184。

　　例 2 一個長方形長1.2米，寬80厘米。寫出這個長方形長與寬的比和寬與長的比。

　　[解]1.2米=120厘米。

　　這個長方形長與寬的比是：

　　120∶80=3∶2。

　　這個長方形寬與長的比是：

　　80∶120=2∶3。

　　[常見錯誤]

　　這個長方形長與寬的比是1.2∶80，

　　這個長方形寬與長的比是80∶1.2。

　　[分析]

　　例 1 的解答錯誤是把比的前項與后項顛倒了，或者是答非所問。這兩點是初學(xué)比時學(xué)生最容易犯的錯誤。我們知道，兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。在除法中被除數(shù)與除數(shù)是不能隨意顛倒位置的，因此比的前項與后項的位置也不能隨便顛倒。

　　盡管兩個不同類的量能夠相比，但兩個同類量相比時單位必須統(tǒng)一。例2的解答錯誤就是沒有把同類量化成統(tǒng)一單位。由于同類量的相比實質(zhì)上是求的倍數(shù)關(guān)系，單位不統(tǒng)一就求不出這個倍比關(guān)系，這和兩個同類量相除必須化成同一單位的道理是一樣的。

　　例 2 把下面的比化簡。

　　[常見錯誤]

　　10.5∶3.5＝105∶35＝3∶1

　　例 5 把10.5∶3.5化簡。

　　[解]10.5∶3.5=105∶35=3∶1。

　　[常見錯誤]

　　10.5∶3.5＝105∶35＝3∶1＝3。

　　[分析]

　　例 4 與例5的解答所出現(xiàn)的兩個錯誤，主要是對求比值與化簡比混淆不清造成的。比值是一個數(shù)（相當(dāng)于除法中的商），它可以是整數(shù)、小數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)；但化簡后的比仍然是一個比。

　　求比值是用比的前項除以后項，化簡比是先化成整數(shù)比，再化成最簡整

　　[分析]

　　解答例6時一般容易出現(xiàn)以上兩種錯誤，一是圖上距離比實際距離時，沒有化成相同的長度單位；二是比例尺應(yīng)是個比值，不帶單位，然而在錯解（2）中比例尺卻帶上了單位。

　　必須注意的是比例尺的名稱，很像我們量長度用的“尺”，實際上表示的是圖上距離與實際距離的比值，因此，不能帶單位。

　　[分析]

　　本題的錯誤主要體現(xiàn)在單位的換算上，由于圖上距離一般用厘米為單位，而實際距離往往用千米作單位，兩者之間的進率是十萬。即1千米=100000厘米

　　當(dāng)把1千米化成厘米時，多寫或少寫一個0，這是經(jīng)常出現(xiàn)的，防止出錯的辦法，是要記住：把千米化成厘米時，在數(shù)的末尾添上五個0，若把厘米聚成千米時，則要去掉數(shù)末尾的五個0。

　　除了單位間的換算出錯外，有的學(xué)生在書寫格式上也常常出現(xiàn)下面的連等式。

　　x=36000000=360（千米）

　　這種連等式，顯然也是錯誤的。

　　例 8 學(xué)校把120棵樹苗分給五年級與六年級的同學(xué)栽種。已知五年級同

　　答：由趙村去縣城用了3小時，由縣城返回趙村用了1.8小時。

　　[分析]

　　根據(jù)這道題的條件可知，汽車往返的距離一定，因此汽車行駛的速度與所用的時間成反比。若往返的速度之比是3∶5，則往返所用的時間比就是5∶3，然后再按比例分配問題求解，而上面的錯解卻依據(jù)兩車速度的比來“分配”兩車所用時間，顯然題目做錯。

　例 10 一堆煤，計劃每天燒1.5噸，可以燒24天。改建爐灶后，每天節(jié)約20％，這堆煤實際燒了多少天？

　　[解]煤的總量一定，每天的燒煤量與燒煤的天數(shù)成反比例。

　　設(shè)這堆煤實際燒了x天。

　　1.5×（1-20％）x=1.5×24。

　　1.2x＝1.5×24，

　　x＝30。

　　答：這堆煤可以燒30天。

　　[常見錯誤]

　　煤的總量一定，每天的燒煤量與燒煤的天數(shù)成反比例。設(shè)這堆煤可以燒

　　x天。

　　1.5×20％x=1.5×24。

　　0.3x＝1.5×24，

　　x＝120。

　　答：這堆煤可以燒120天。

　　[分析]

　　根據(jù)這道題的已知條件，改建爐灶后，每天燒煤節(jié)約20％，上面的錯解卻誤認(rèn)為爐灶改進后，每天燒煤是原來的20％，因此題目解答出現(xiàn)錯誤。