一、情景再現(xiàn)：
課上，我先讓學(xué)生理解了什么是按比例分配，然后出示：
“某單位在植樹節(jié)組織職工植樹，男女職工人數(shù)比是3：2”。讓學(xué)生說對3：2的理解。
學(xué)生有說男工比女工多一份的；也有說男工是女工的，女工是男工的；男工是總?cè)藬?shù)的，女工是總?cè)藬?shù)的；職工共有5份，其中男工3份，女工2份等等。根據(jù)學(xué)生的回答我在黑板上隨機(jī)畫圖如下：
男工3份（） 女工2份（）
接著出示：“共有職工60人”。
問學(xué)生：“可以求出什么？”學(xué)生說可以求出男工和女生的人數(shù)。于是我把題目補(bǔ)充完整成例題：“某單位在植樹節(jié)組織職工植樹，男女職工人數(shù)比是3：2，共有職工60人，男女職工各有多少人？”讓學(xué)生嘗試解答。
由于學(xué)生課前已經(jīng)預(yù)習(xí)過課本，無一例外的進(jìn)行了如下地解答：
3+2=5 60×=36（人） 60×=24（人）
我問學(xué)生：“還有不同的方法嗎？”一陣沉默。預(yù)想中的多種方法因?yàn)閷W(xué)生的預(yù)習(xí)而沒有如期出現(xiàn)，怎么辦？自己出示其它方法還是繼續(xù)把時(shí)間留給學(xué)生，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)？我選擇了后者，讓學(xué)生繼續(xù)看線段圖，想一想：還可以怎樣解答？一陣沉思后，學(xué)生終于有所收獲，學(xué)生的手陸續(xù)地舉了起來。
一生說：“可以先求出每一份的人數(shù)，60÷（2+3）=12（人），再算男職工和女職工，12×3=36（人），12×2=24（人）。”
另一生說：“可以用方程解，2X+3X=60，X=12，12×2=24（人），12×3=36（人）。”
……
把這些方法板書在黑板上后，我讓學(xué)生進(jìn)行討論：“你喜歡哪種方法？為什么？”結(jié)果，學(xué)生都傾向于第一種方法：把按比例分配應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題來解。而在我看來，這種方法在解決一些按比例分配應(yīng)用題的變式題時(shí)，如已知兩個(gè)部份量的差求兩個(gè)部份量，轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的應(yīng)用題的思考過程明顯較之歸一法先求一份數(shù)，再求各部份量要來得復(fù)雜。學(xué)生往往會照搬總量乘幾分之幾的方法去解答，導(dǎo)致錯(cuò)誤。但學(xué)生已經(jīng)形成這種先入為主的觀念，教師該怎么辦？聽之任之，不利于后續(xù)發(fā)展；想怎么算就怎么算的說法更易使學(xué)生發(fā)生認(rèn)識上的混亂；教師規(guī)定用哪種方法當(dāng)然更不是一個(gè)明智的選擇。稍做思考后，我決定讓學(xué)生解答幾道變式題，希望通過變式題的解答來體驗(yàn)各種方法，進(jìn)而對解題策略作出自己合理地選擇。
變式題一：某單位在植樹節(jié)組織職工植樹，男女職工人數(shù)比是3：2，男職工有36人，女職工有幾人？
變式題二：某單位在植樹節(jié)組織職工植樹，男女職工人數(shù)比是3：2，女職工有24人，共有職工幾人？
變式題三：某單位在植樹節(jié)組織職工植樹，男女職工人數(shù)比是3：2，男職工比女職工多12人，男女職工各有幾人？
面臨第一個(gè)問題，學(xué)生經(jīng)歷了短暫的困惑后，然后出現(xiàn)了三種解法：
生1：36÷=24（人）。我問：“為什么這樣解？”他說：“由男女工的比是3：2可知，男工是女工的，男工有36人，就是已知女工的是36，求女工是多少，用除法做。”
生2：36×=24（人）。我同樣讓他說說理由，他說，由男工女工的比是3：2可知，女工是男工的，求女工，即求36的是多少，用乘法算。
生3：可以先求出一份數(shù)，再算女工人數(shù)。36÷3×2=24（人）
如果說生2、3的解法是我預(yù)料中的話，生1的方法，有點(diǎn)出乎我的意料，看來隨著探索活動的深入，學(xué)生的思維更加活躍了，但同時(shí)，我也更加擔(dān)心學(xué)生會更無從選擇。但是后面兩題的發(fā)展情況消除了我的這種擔(dān)心。先看第二題的解答：
生1：先求出一份數(shù)，再求總?cè)藬?shù)：24÷2=12（人），12×（3+2）=60（人）
生2：從3：2中可知，女生是總?cè)藬?shù)的，已知女生有24人，求總?cè)藬?shù)，用除法。24÷=60（人）
學(xué)生在這一題中沒有用分?jǐn)?shù)乘法來解，我想可能是學(xué)生很難會去想“全部職工是女工的”，而上述兩種思路學(xué)生比較容易想到，正所謂“擇善而從之”吧！第三題的解答更是證實(shí)了這一點(diǎn)：
先求一份數(shù)：12÷（3-2）=12（人）
再求男工和女工：12×3=36（人）
12×2=24（人）
在一次次的體驗(yàn)和反思中，學(xué)生選擇了他們的方法。
……
二、思考：
這節(jié)課的進(jìn)程，可以說是一波三折，從最初的單一的方法，到多樣化，再到認(rèn)識上的分歧，再到統(tǒng)一的選擇，學(xué)生經(jīng)歷了一個(gè)“問題——探索——優(yōu)化”的數(shù)學(xué)活動過程，最終達(dá)到了算法多樣化和算法優(yōu)化的平衡。
1、學(xué)生算法多樣化的出現(xiàn)，需要教師給予支持。
現(xiàn)在的學(xué)生，學(xué)習(xí)渠道很多，在學(xué)習(xí)新知前往往已經(jīng)對新知有了一定的認(rèn)識，形成了比較固定的思維定勢，這一方面可以促進(jìn)學(xué)生的有效學(xué)習(xí)，另一方面也會阻礙學(xué)生更好地發(fā)展。怎樣打破學(xué)生的這種思維定勢，促使學(xué)生去追尋獨(dú)具個(gè)性的、多樣化的解題策略，出現(xiàn)算法多樣化呢？這需要教師給予支持。
�。�1）給學(xué)生更多的時(shí)間和空間，讓學(xué)生去思考“還可以怎樣算”，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生尋求多種方法解決問題的思維習(xí)慣與態(tài)度。本課在實(shí)施過程中，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)思維上的惰性，對教材呈現(xiàn)的方法一致認(rèn)同并接受，不出現(xiàn)別的方法時(shí)，按照傳統(tǒng)的教學(xué)思路，似乎到此也可，可以直接進(jìn)行下一環(huán)節(jié)的練習(xí)。從單純的解題要求來講，似乎已經(jīng)達(dá)到要求了，但是，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展特別是發(fā)散性思維的發(fā)展必然有所欠缺。因此，筆者在此采取了繼續(xù)等待的策略，把時(shí)間和空間留給學(xué)生，讓學(xué)生繼續(xù)思考：還有沒有別的算法？這不單單是為了達(dá)成筆者所希望的多種方法出現(xiàn)的目的，更是為了讓學(xué)生養(yǎng)成這樣一種習(xí)慣：當(dāng)能夠用一種方法解決問題后，想一想：還有別的策略嗎？這是對學(xué)生終身有益的。
�。�2）把靜態(tài)的材料轉(zhuǎn)化為動態(tài)的材料，把結(jié)論轉(zhuǎn)化為問題，促使學(xué)生主動探索，尋求解決問題的策略。浙教版的教材編寫體系是按照“例題+方法+練一練”來編寫的，教師容易把握，學(xué)生能夠獨(dú)立自學(xué)，但也容易使師生的思維產(chǎn)生定勢。特別是對于學(xué)生來說，教材上以結(jié)論的方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，容易使學(xué)生的思維受到桎棝，影響學(xué)生從多角度思考問題。本課，教材只介紹了把按比例分配應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題來解答的方法，后面的練習(xí)題與例題大同小異，缺乏變式練習(xí)，學(xué)生在不斷地強(qiáng)化這種方法后，導(dǎo)致的直接問題就是遇到形似例題的變式題，也不假思索地套用這種方法，出現(xiàn)錯(cuò)誤。要避免這種僵化的學(xué)習(xí)行為的產(chǎn)生，需要教師對學(xué)習(xí)材料進(jìn)行重組，把靜態(tài)的例題改為動態(tài)生成，把已知結(jié)論改為需探索的問題，以此來促使學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)不同的解題策略，形成算法上的多樣化。教學(xué)中，筆者先讓學(xué)生理解“男女職工人數(shù)的比是3：2”的意思，為后面算法多樣化的出現(xiàn)預(yù)作伏筆，然后出示“總?cè)藬?shù)60人”，讓學(xué)生自己提出問題，在此基礎(chǔ)生成研究的問題，讓學(xué)生探究解答方法，努力使學(xué)生擺脫教材的束縛，經(jīng)歷問題探究的過程，形成自己獨(dú)特的策略。
2、學(xué)生算法的優(yōu)化，是學(xué)生在體驗(yàn)與反思基礎(chǔ)上的內(nèi)化過程。
算法多樣化是一種手段，不是目的，出現(xiàn)多樣化的算法后，選擇哪一種方法，是每個(gè)學(xué)生面臨的問題。曾幾何時(shí)：你喜歡用哪種方法就用哪種方法的說法充斥著我們的課堂，筆者也曾進(jìn)行嘗試，結(jié)果學(xué)生往往死抱著自己的方法不放，上課之前與上課之后沒有區(qū)別，學(xué)習(xí)沒有質(zhì)的提高。如果說，算法多樣化是學(xué)生數(shù)學(xué)思維量的積累的話，那么，對算法進(jìn)行優(yōu)化，則是學(xué)生數(shù)學(xué)思維質(zhì)的飛躍。本課，學(xué)生對按比例分配應(yīng)用題，出現(xiàn)了轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、歸一法解等思路，對此如何評價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生作何選擇，是教師不容回避的問題。就以已知總量及部份量的比，求各部份量的基本題來說，各種方法并沒有大的區(qū)別，這也是學(xué)生在解決基本題后，筆者讓他們討論你喜歡哪種方法時(shí)，學(xué)生喜歡分?jǐn)?shù)乘法解的原因之一。但在解決變式題，如本課的后三題時(shí)，三種方法的思維簡捷程度是不一樣的，以第三題為例，用歸一法的思路，已知男職工比女職工多12人，由3：2又可知，男職工比女職工多1份，每份人數(shù)是12÷1=12（人），男職工有3份，為12×3=36（人），女職工2份，12×2=24（人），思路十分清楚；如果要轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的思路來解的話，則首先應(yīng)當(dāng)使學(xué)生想到：男職工人數(shù)相當(dāng)于男工比女工多的人數(shù)的，女職工相當(dāng)于男工比女工多的人數(shù)的，然后列出算式：12×和12×；或者是想到全部人數(shù)的是12人，先求出總?cè)藬?shù)：12÷=60（人），再求相應(yīng)的男、女職工人數(shù)這樣一個(gè)轉(zhuǎn)化過程。后兩種思路，對多數(shù)學(xué)生來說，有一定困難，遠(yuǎn)不及歸一法的思路簡捷。但如何讓學(xué)生作出正確選擇呢？顯然由老師進(jìn)行規(guī)定肯定不行，只有通過學(xué)生的切身體驗(yàn)和反思，才能作出正確判斷，內(nèi)化為自己的知識。本課在學(xué)生展現(xiàn)各種解法后，老師及時(shí)地讓學(xué)生解答三道變式題，讓學(xué)生在解決三道變式題的過程中選擇合理算法，促進(jìn)了學(xué)生知識的內(nèi)化，達(dá)到算法多樣化基礎(chǔ)上的優(yōu)化，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。
三、結(jié)束語：
葉瀾教授說：“沒有聚集的發(fā)散沒有價(jià)值的，聚集的目的是為了促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。”算法多樣化不是教學(xué)的歸宿，優(yōu)化才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。教師應(yīng)當(dāng)善于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造思維，促進(jìn)學(xué)生的算法多樣化，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行體驗(yàn)與反思，自覺進(jìn)行算法的優(yōu)化，促進(jìn)知識的內(nèi)化。
