第五講  整數(shù)問題之一

　　整數(shù)是最基本的數(shù)，它產(chǎn)生了許多有趣的數(shù)學(xué)問題.在中、小學(xué)生的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，有關(guān)整數(shù)的問題占有重要的地位.我們除了從課本上學(xué)習(xí)整數(shù)知識(shí)以外，還必須通過課外活動(dòng)來補(bǔ)充一些整數(shù)的知識(shí)，以及解決問題的思路和方法。

　　對(duì)于兩位、三位或者更多位的整數(shù)，有時(shí)要用下面的方法來表示：

　　49=4×10+9，

　　235=2×100+3×10+5，

　　7064=7×1000+6×10+4，

　　…………………

　　就是

5.1  整除

　　整除是整數(shù)問題中一個(gè)重要的基本概念.如果整數(shù)a除以自然數(shù)b，商是整數(shù)且余數(shù)為0，我們就說a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，記作b丨a.此時(shí)，b是a的一個(gè)因數(shù)（約數(shù)），a是b的倍數(shù).

　　1.整除的性質(zhì)

　　性質(zhì)1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（這里設(shè)a>b）.

　　例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）.

　　性質(zhì)2 如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

　　例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24.

　　性質(zhì)3 如果a能同時(shí)被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍數(shù)整除.

　　例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍數(shù)是18，18丨36.

　　如果兩個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么它們稱為互質(zhì)的.

　　例如：7與50是互質(zhì)的，18與91是互質(zhì)的.

　　性質(zhì)4 整數(shù)a，能分別被b和c整除，如果b與c互質(zhì)，那么a能被b×c整除.

　　例如：72能分別被3和4整除，由3與4互質(zhì)，72

　　能被3與4的乘積12整除.

　　性質(zhì)4中，“兩數(shù)互質(zhì)”這一條件是必不可少的.72分別能被6和8整除，但不能被乘積48整除，這就是因?yàn)?與8不互質(zhì)，6與8的最大公約數(shù)是2.

　　性質(zhì)4可以說是性質(zhì)3的特殊情形.因?yàn)閎與c互質(zhì)，它們的最小公倍數(shù)是b×c.事實(shí)上，根據(jù)性質(zhì)4，我們常常運(yùn)用如下解題思路：

　　要使a被b×c整除，如果b與c互質(zhì)，就可以分別考慮，a被b整除與a被c整除.

　　能被2，3，4，5，8，9，11整除的數(shù)都是有特征的，我們可以通過下面講到的一些特征來判斷許多數(shù)的整除問題.

　　2.數(shù)的整除特征

　　（1）能被2整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，那么它必能被2整除.

　　（2）能被5整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的個(gè)位數(shù)字是0或5，那么它必能被5整除.

　　（3）能被3（或9）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

　　（4）能被4（或25）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除.

　　（5）能被8（或125）整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除.

　　（6）能被11整除的數(shù)的特征：

　　如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差（大減小）能被11整除，那么它必能被11整除.

　　是什么數(shù)字？

　　解：18=2×9，并且2與9互質(zhì)，根據(jù)前面的性質(zhì)4，可以分別考慮被2和9整除.

　　要被2整除，b只能是0，2，4，6，8.

　　再考慮被9整除，四個(gè)數(shù)字的和就要被9整除，已有7+4=11.

　　如果 b=0，只有 a=7，此數(shù)是 7740；

　　如果b=2，只有a=5，此數(shù)是7542；

　　如果b＝4，只有a＝3，此數(shù)是 7344；

　　如果 b＝6，只有 a＝1，此數(shù)是 7146；

　　如果b＝8，只有a＝8，此數(shù)是7848.

　　因此其中最小數(shù)是7146.

　　根據(jù)不同的取值，分情況進(jìn)行討論，是解決整數(shù)問題常用辦法，例1就是一個(gè)典型.

　　例2 一本老賬本上記著：72只桶，共□67.9□元，其中□處是被蟲蛀掉的數(shù)字，請(qǐng)把這筆賬補(bǔ)上.

　　解：把□67.9□寫成整數(shù)679，它應(yīng)被72整除.72＝9×8，9與8又互質(zhì).按照前面的性質(zhì)4，只要分別考慮679被8和被9整除.從被8整除的特征，79要被8整除，因此b＝2.從6792能被9整除，按照被9整除特征，各位數(shù)字之和+24能被9整除，因此a＝3.

　　這筆帳是367.92元.

　　例3 在1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中選出盡可能多的不同數(shù)字組成一個(gè)數(shù)（有些數(shù)字可以重復(fù)出現(xiàn)），使得能被組成它的每一個(gè)數(shù)字整除，并且組成的數(shù)要盡可能小.

　　解：如果選數(shù)字5，組成數(shù)的最后一位數(shù)字就必須是5，這樣就不能被偶數(shù)2，4，6整除，也就是不能選2，4，6.為了要選的不同數(shù)字盡可能多，我們只能不選5，而選其他五個(gè)數(shù)字1，2，3，4，6.1+2+3+4+6＝16，為了能整除3和6，所用的數(shù)字之和要能被3整除，只能再添上一個(gè)2，16+2＝18能被3整除.為了盡可能小，又要考慮到最后兩位數(shù)能被4整除.組成的數(shù)是

　　122364.

　　例4 四位數(shù)7□4□能被55整除，求出所有這樣的四位數(shù).

　　解：55＝5×11，5與11互質(zhì)，可以分別考慮被5與11整除.

　　要被5整除，個(gè)位數(shù)只能是0或5.

　　再考慮被11整除.

　　（7+4）-（百位數(shù)字+0）要能被11整除，百位數(shù)字只能是0，所得四位數(shù)是7040.

　　（7+4）-（百位數(shù)字+5）要能被11整除，百位數(shù)字只能是6（零能被所有不等于零的整數(shù)整除），所得四位數(shù)是7645.

　　滿足條件的四位數(shù)只有兩個(gè)：7040，7645.

　　例5 一個(gè)七位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，并且它能被11整除，這樣的數(shù)中，最大的是哪一個(gè)？

　　，要使它被11整除，要滿足

　　（9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）

　　能被11整除，也就是7+b-a要能被11整除，但是a與b只能是0，1，2，3，4中的兩個(gè)數(shù)，只有b＝4，a＝0，滿足條件的最大七位數(shù)是9876504.

　　再介紹另一種解法.

　　先用各位數(shù)字均不相同的最大的七位數(shù)除以11（參見下頁除式）.

　　要滿足題目的條件，這個(gè)數(shù)是9876543減6，或者再減去11的倍數(shù)中的一個(gè)數(shù)，使最后兩位數(shù)字是0，1，2，3，4中的兩個(gè)數(shù)字.

　　43-6＝37，37-11＝26，26-11＝15，15-11＝4，因此這個(gè)數(shù)是9876504.

　　思考題：如果要求滿足條件的數(shù)最小，應(yīng)如何去求，是哪一個(gè)數(shù)呢？

　　（答：1023495）

　　例6 某個(gè)七位數(shù)1993□□□能被2，3，4，5，6，7，8，9都整除，那么它的最后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)是多少？

　　與上例題一樣，有兩種解法.

　　解一：從整除特征考慮.

　　這個(gè)七位數(shù)的最后一位數(shù)字顯然是0.

　　另外，只要再分別考慮它能被9，8，7整除.

　　1＋9＋9＋3＝22，要被9整除，十位與百位的數(shù)字和是5或14，要被8整除，最后三位組成的三位數(shù)要能被8整除，因此只可能是下面三個(gè)數(shù)：

　　1993500，1993320，1993680，

　　其中只有199320能被7整除，因此所求的三位數(shù)是320.

　　解二：直接用除式來考慮.

　　2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍數(shù)是2520，這個(gè)七位數(shù)要被2520整除.

　　現(xiàn)在用1993000被2520來除，具體的除式如下：

　　因?yàn)?nbsp;2520-2200＝320，所以1993000+320=1993320能被2520整除.

　　例7 下面這個(gè)41位數(shù)

　　能被7整除，中間方格代表的數(shù)字是幾？

　　解：因?yàn)?nbsp;111111＝3×7×11×13×37，所以

　　555555＝5×111111和999999＝9×111111

　　都能被7整除.這樣，18個(gè)5和18個(gè)9分別組成的18位數(shù)，也都能被7整除.

　　右邊的三個(gè)加數(shù)中，前、后兩個(gè)數(shù)都能被7整除，那么只要中間的55□99能被7整除，原數(shù)就能被7整除.

　　把55□99拆成兩個(gè)數(shù)的和：

　　55A00＋B99，

　　其中□=A+B.

　　因?yàn)?丨55300，7丨399，所以□=3+3＝6.

　　注意，記住111111能被7整除是很有用的.

　　例8 甲、乙兩人進(jìn)行下面的游戲.

　　兩人先約定一個(gè)整數(shù)N.然后，由甲開始，輪流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十個(gè)數(shù)字之一填入下面任一個(gè)方格中

　　每一方格只填一個(gè)數(shù)字，六個(gè)方格都填上數(shù)字（數(shù)字可重復(fù)）后，就形成一個(gè)六位數(shù).如果這個(gè)六位數(shù)能被N整除，就算乙勝；如果這個(gè)六位數(shù)不能被N整除，就算甲勝.

　　如果N小于15，當(dāng)N取哪幾個(gè)數(shù)時(shí)，乙能取勝？

　　解：N取偶數(shù)，甲可以在最右邊方格里填一個(gè)奇數(shù)（六位數(shù)的個(gè)位），就使六位數(shù)不能被N整除，乙不能獲勝.N＝5，甲可以在六位數(shù)的個(gè)位，填一個(gè)不是0或5的數(shù)，甲就獲勝.

　　上面已經(jīng)列出乙不能獲勝的N的取值.

　　如果N＝1，很明顯乙必獲勝.

　　如果N＝3或9，那么乙在填最后一個(gè)數(shù)時(shí)，總是能把六個(gè)數(shù)字之和，湊成3的整數(shù)倍或9的整數(shù)倍.因此，乙必能獲勝.

　　考慮N＝7，11，13是本題最困難的情況.注意到1001＝7×11×13，乙就有一種必勝的辦法.我們從左往右數(shù)這六個(gè)格子，把第一與第四，第二與第五，第三與第六配對(duì)，甲在一對(duì)格子的一格上填某一個(gè)數(shù)字后，乙就在這一對(duì)格子的另一格上填同樣的數(shù)字，這就保證所填成的六位數(shù)能被1001整除.根據(jù)前面講到的性質(zhì)2，這個(gè)六位數(shù)，能被7，11或13整除，乙就能獲勝.

　　綜合起來，使乙能獲勝的N是1，3，7，9，11，13.

　　記住，1001＝7×11×13，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽或者做智力測(cè)驗(yàn)題時(shí)，常常是有用的.