4.2  構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它靈活多樣，數(shù)論中的許多問題都可以通過構(gòu)造某些特殊結(jié)構(gòu)、特殊性質(zhì)的整數(shù)或整數(shù)的組合來解決。

例5 9999和99！能否表示成為99個連續(xù)的奇自然數(shù)之和？

解：9999能。因為9999等于99個9998之和，所以可以直接構(gòu)造如下：

9999=（9998-98）+（9998-96）+…+

=（9998-2）+9998+（9998+2）+…+

=（9998+96）+（9998+98）。

99！不能。因為99！為偶數(shù)，而99個奇數(shù)之和為奇數(shù)，所以99！不能表示為99個連續(xù)奇數(shù)之和。

說明：利用構(gòu)造法證明存在性問題，只要把滿足題設(shè)要求的數(shù)學(xué)對象構(gòu)造出來就行。

例6 從1，2，3，…，999這999個數(shù)中，要求劃去盡量少的數(shù)，使得余下的數(shù)中每一個數(shù)都不等于另外兩個數(shù)的乘積。應(yīng)劃去哪些數(shù)？

解：我們可劃去2，3，…，30，31這30個數(shù)，因為劃去了上述這30個數(shù)之后，余下的數(shù)中，除1以外的任何兩個數(shù)之積將大于322=1024＞999。

另一方面，可以通過構(gòu)造三元數(shù)組來證明30是最少的個數(shù)。

（2，61，2×61），（3，60，3×60），（4，59，4×59），…，

（30，33，30×33），（31，32，31×32）。

上面寫出的這些數(shù)都是互不相同的，并且這些數(shù)中的最大數(shù)為 31×32=992。如果劃去的數(shù)少于30個，那么上述三元數(shù)組至少剩下一個，這樣就不滿足題設(shè)條件。所以，30是最少的個數(shù)。