第三講 數論的方法技巧之一

數論是研究整數性質的一個數學分支，它歷史悠久，而且有著強大的生命力。數論問題敘述簡明，“很多數論問題可以從經驗中歸納出來，并且僅用三言兩語就能向一個行外人解釋清楚，但要證明它卻遠非易事”。因而有人說：“用以發現天才，在初等數學中再也沒有比數論更好的課程了。任何學生，如能把當今任何一本數論教材中的習題做出，就應當受到鼓勵，并勸他將來從事數學方面的工作。”所以在國內外各級各類的數學競賽中，數論問題總是占有相當大的比重。

小學數學競賽中的數論問題，常常涉及整數的整除性、帶余除法、奇數與偶數、質數與合數、約數與倍數、整數的分解與分拆。主要的結論有：

1．帶余除法：若a，b是兩個整數，b＞0，則存在兩個整數q，r，使得

　　a=bq+r（0≤r＜b），

且q，r是唯一的。

特別地，如果r=0，那么a=bq。這時，a被b整除，記作b|a，也稱b是a的約數，a是b的倍數。

2．若a|c，b|c，且a，b互質，則ab|c。

3．唯一分解定理：每一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

其中p1＜p2＜…＜pk為質數，a1，a2，…，ak為自然數，并且這種表示是唯一的。（1）式稱為n的質因數分解或標準分解。

4．約數個數定理：設n的標準分解式為（1），則它的正約數個數為：

　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。

5．整數集的離散性：n與n+1之間不再有其他整數。因此，不等式x＜y與x≤y-1是等價的。

下面，我們將按解數論題的方法技巧來分類講解。

3.1  利用整數的各種表示法

　　對于某些研究整數本身的特性的問題，若能合理地選擇整數的表示形式，則常常有助于問題的解決。這些常用的形式有：

　　1．十進制表示形式：n=an10n+an-110n-1+…+a0；

　　2．帶余形式：a=bq+r；

　　4．2的乘方與奇數之積式：n=2mt，其中t為奇數。

　　例1 紅、黃、白和藍色卡片各1張，每張上寫有1個數字，小明將這4張卡片如下圖放置，使它們構成1個四位數，并計算這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差。結果小明發現，無論白色卡片上是什么數字，計算結果都是1998。問：紅、黃、藍3張卡片上各是什么數字？

　　解：設紅、黃、白、藍色卡片上的數字分別是a3，a2，a1，a0，則這個四位數可以寫成

　　1000a3+100a2+10a1+a0，

　　它的各位數字之和的10倍是

　　10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，

　　這個四位數與它的各位數字之和的10倍的差是

　　990a3+90a2-9a0=1998，

　　110a3+10a2-a0=222。

　　比較上式等號兩邊個位、十位和百位，可得

　　a0=8，a2=1，a3=2。

　　所以紅色卡片上是2，黃色卡片上是1，藍色卡片上是8。

　　解：依題意，得

　　a+b+c＞14，

　　說明：求解本題所用的基本知識是，正整數的十進制表示法和最簡單的不定方程。

　　例3 從自然數1，2，3，…，1000中，最多可取出多少個數使得所取出的數中任意三個數之和能被18整除？

　　解：設a，b，c，d是所取出的數中的任意4個數，則

　　a+b+c=18m，a+b+d=18n，

　　其中m，n是自然數。于是

　　c-d=18（m-n）。

　　上式說明所取出的數中任意2個數之差是18的倍數，即所取出的每個數除以18所得的余數均相同。設這個余數為r，則

　　a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，

　　其中a1，b1，c1是整數。于是

　　a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r。

　　因為18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12。因為1000=55×18+10，所以，從1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56個數，它們中的任意3個數之和能被18整除。

　　例4 求自然數N，使得它能被5和49整除，并且包括1和N在內，它共有10個約數。

　　解：把數N寫成質因數乘積的形式

　　由于N能被5和72=49整除，故a3≥1，a4≥2，其余的指數ak為自然數或零。依題意，有

　　（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10。

　　由于a3+1≥2，a4+1≥3，且10=2×5，故

　　a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1，

　　即a1=a2=a5=…an=0，N只能有2個不同的質因數5和7，因為a4+1≥3＞2，故由

　　（a3+1）（a4+1）=10

　　知，a3+1=5，a4+1=2是不可能的。因而a3+1=2，a4+1=5，即N=52-1×75-1=5×74=12005。

　　例5 如果N是1，2，3，…，1998，1999，2000的最小公倍數，那么N等于多少個2與1個奇數的積？

　　解：因為210=1024，211=2048＞2000，每一個不大于2000的自然數表示為質因數相乘，其中2的個數不多于10個，而1024=210，所以，N等于10個2與某個奇數的積。

　　說明：上述5例都是根據題目的自身特點，從選擇恰當的整數表示形式入手，使問題迎刃而解。