案例背景：

　　我多次設計并執教《11～20各數的認識》，似乎一次比一次“成功”，可我越來越迷惑，學生需要“10根扎成一捆”的方法嗎？學生理解十進制的概念了嗎？課堂上，學生圍繞問題“小棒怎樣擺放讓別人很快看出根數”時，擺小棒的方法較多，但把“10根扎成一捆”的同學極少。因此，學生通過比較沒有達成共識，只是通過教師的“引導”，學生“接受”了十進制。當然，通過精心設計的習題訓練，學生也學會了解題答題。也就是說，學生通過訓練“記住”了知識，“記住”了數的組成，但不理解位值制原理，也沒有建立數的概念。2004年10月，在新課程改革的背景下，以“培養數感”為主題，我又一次重新設計并執教了《11～20各數的認識》的研討課，感受頗深。

　　案例描述：

　　一、課前談話

　　促使一年級小學生養成良好的學習習慣，許多教師制訂了一系列的獎勵措施，如：表現好的獎紅花，10朵紅花換一個金蘋果。我根據班級的實際，輕松地與學生聊了起來。

　　“今天發言積極，聲音響亮的小朋友，希望老師獎什么？”

　　“紅花和金蘋果，你更喜歡什么？為什么？”學生興奮地說：“我喜歡金蘋果，因為一個金蘋果相當于10朵紅花。”

　　[從現實材料入手，幾句談話既組織了教學，又滲透了以一當十的數學思想，為下面學習新知作好充分的知識準備。]

　　二、創設情境

　　“小朋友，你們成為小學生后，爸爸媽媽非常關心你們的學習，為你們準備了許多學習用品。”教師邊說邊拿出一個放了許多鉛筆的筆筒，“這里有幾枝鉛筆？”“10枝”、“14枝”、“19枝”等，他們猜得興趣盎然，神采飛揚。然后運用數數來驗證，結果是12枝。再次猜另一個筆筒的鉛筆枝數，又一次數鉛筆枝數，結果是20枝。

　　[從猜測到驗證，讓學生感到數數不是枯燥無味的，而是解決問題的一種方法。這樣既了解學生的起點，初步感知數的相對大小，又體驗到1枝1枝地數，數得速度慢、麻煩，引發學主動探究的欲望。]

　　三、自主探究

　　1．擺小棒，感知“十”。

　　把12根小棒作為研究材料，學生圍繞中心問題“這些小棒怎樣擺放讓別人也很快地看出是12根”進行積極地動手操作，小組合作探究。然后匯報擺的方法：①1根1根地擺；②2根2根地擺；③5根5根地擺；④一邊10根，另一邊2根等8種擺法，但一邊擺10根，另一邊擺2根的同學很少，個別學生操作時無從入手，他們不理解“這些小棒怎樣擺放，讓別人也很快看出是12根。”“你認為哪一種擺法很快看出是12根？為什么？”學生各抒己見，意見很不一致，根本無法體會到10根扎成一捆的優越性。教師不作任何解釋，只是安排了一個游戲“比一比，誰的眼力最好”。師生一起觀看課件，第一幅畫面，1根1根地擺，畫面出現約2秒鐘后馬上消失，問：剛才畫面上出現的是幾根小棒？學生無奈地搖搖頭。第二幅畫面2根2根地擺，方法同上，學生又是無奈地搖搖頭。第三幅畫面把10根扎成一捆，當課件一出現時，學生非常興奮，異口同聲地叫起來：21根。其實三幅畫面上出現的都是21根，現在你喜歡哪一種擺法？“我喜歡10根扎成一捆的方法。”“我也喜歡10根扎成一捆的方法。”……學生的意見基本統一。

　　[在比較中，學生領悟到10根扎成一捆可以使數數顯得方便，并初步滲透十進制。]

　　用自己喜歡的方法重新擺12根小棒時，學生卻遇到新問題：不會用橡皮圈扎小棒（每次執教前，學生會熟練地用橡皮圈扎小棒成為課前準備的主要內容）。在教師的引導下，扎好小棒后，邊看邊說，一捆是（10）根，就是10個一，一捆有（1）個十，那10個一是這捆，1個十也是這捆，那么我們就說10個一是1個十。

　　[在感知的基礎上，借助小棒，直觀演示操作，使抽象的概念具體化，從而理解10個一1個十。]

　　2．擺小棒，說組成。

　　師擺小棒，生說組成；生擺小棒，生說組成；學生看數，在頭腦中擺小棒說組成等活動，逐步提升學生的數學思維水平，從而建立起1個十和幾個一是十幾的數學模型。

　　[數感的建立是一個逐步體驗和發展的過程，理解數概念就是數學建模的過程。]

　　3．看直尺，理解數的順序、大小。

　　借助直尺，讓學生在理解的基礎上，再次讀數（順數、倒數），更深入地認識11～20各數。“看到這把直尺，你知道了什么？”預設讓學生在寬松的氛圍中，自由地開放地暢所欲言，如17比16大1，19的鄰居是18和20等。可實際操作中，有的學生不知如何回答。

　　[學生通過讀數，了解數的順序，比較數的大小，進一步認識20以內各數。這樣讓學生從多種角度去學習數，知道數與數之間的聯系和區別，在輕松活潑的課堂學習過程中對20以內的數有了更深刻的認識，有利于學生形成良好的數感。]

　　四、實踐運用

　　“在生活中，你在哪兒見過我用過這些數？”教師引導學生觀察身邊的。如：整體認讀音節16個，日常行為規范20條，一盒水彩筆18色，今天是10月20日等。

　　[搜索生活中客觀存在的數，充分感受數的意義，讓學生體會數與生活的密切聯系，體會用數學的快樂。]

　　你抓一把糖大約有（    ）顆，抓一把鉛筆大約（    ）枝，你的紅花本上大約有（    ）朵紅花等問題的設計，在估測中，促使學生運用數來交流表達信息的能力。“你能運用今天學到的知識，圈一圈，畫一畫，讓大家一看就知道有朵紅花？”

　　[這個富有挑戰性的問題，目的是運用1個金蘋果換10朵紅的事實，進一步深化十進制的概念，但每次的執教中時間總是顯得倉促，效果不佳。]

　　五、課堂總結

　　11～20，這條波浪線什么意思。

　　案例分析：

　　《數學課程標準》在總體目標中提出要使學生“經歷運用數學符號和圖形描述現實世界的過程，建立數感和符號感，發展抽象思維。”并且在內容標準的幾個階段都闡述了培養數感的問題。可見，讓學生在“做”數學中建立數感，形成數感，發展數感，是新課程改革十分強調和重視的問題。所謂數感，實際就是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識，是人的一種基本的數學素養。如何培養學生的數感就是成為當前廣大教師頗受關注的問題。《11～20各數的認識》一課，通過擺一　　擺、扎一扎、比一比、說一說，還利用對比材料，學生達到會認、會數、會讀，理解數的組成和十進制的概念。如果不會用這些知識來描述現實或解決問題，這樣的數學知識是“死”的。《新課程標準》提出了：在教學中，要引導學生聯系自己身邊具體有趣的事物，通過觀察、操作、解決問題等豐富的活動，感受數的意義，體會用數來表示和交流的作用，初步建立數感，從而發展數感。

　　一、親歷建模過程，建立數感

　　認識11～20各數，是學生數的認識的一次飛躍，讓學生建立十進制的概念，理解計數單位“十”是培養數感的基礎。課前談話中，教師選擇金蘋果和紅花之間特殊關系，滲透以一當十的數學思想，達到潤物細無聲之效果。當學生自主探究“怎樣擺放讓別人也很快看出是12根”時，呈現出8種擺的方法并各抒己見，學生無法體會到“10根扎成一捆”的優越性。但“10根扎成一捆”是理解10個一是1個十的支柱，是學生必須掌握的。此時，教師沒有闡述自己的觀點，只是巧妙地設計了三幅畫面，1根1根地擺，2根2根地擺，10根10根地擺，三幅畫面均以出現2秒鐘的時間，馬上消失。當學生對“1根1根地擺”、“2根2根地擺”無法說出根數感到無奈時，10根10根地擺卻帶給學生驚喜、興奮，異口同聲說出21根。通過比較體驗，讓學生真真實實地感受到把“10根扎成一捆”是最容易看出是多少根，并體會到“10根扎成一捆”這種方法的優越性，激發學生我要這種方法，我喜歡這種方法的強烈欲望。然后通過擺小棒、說組成，在腦子中想小棒，說組成，看數說組成等活動，讓學生進一步理解了數的實際意義，也體驗經歷了數的產生，形成與發展的過程，建立數感。

　　布魯納強調：數學知識不是一個簡單的結果，而是一個過程。學生經歷實物操作（擺小棒）──表象操作（在腦中擺小棒）──符號操作（看數，直接說組成）的過程，從而建立起一個十和幾個一組成十幾的數學模型。可見，建立數概念的過程實際上就是建立數學模型的過程。

　　數感是不能傳授的，它是由學生在學習過程中有所體驗、有所感受、有所領悟，產生對知識的深刻理解，獲得數的敏感性，從而建立數感。

　　二、重視實踐應用，形成數感

　　數學知識來源于生活，發展學生的數感離不開學生的生活實際，只有把所學知識與生活實際聯系起來，才能使學生在具體現實的生活背景下感受體驗，內化知識，發展數感。“生活中，你在哪兒見或用過些數？”一石激起千層浪，學生馬上用數學的眼光去觀察生活，尋找教室里的，回憶經歷過的。學生這分分秒秒地思考，反映出他們對數的興趣，16個整體音節，學號13號，12色水彩筆等生活中客觀存在的數，這些不是他們胡編亂造的，而是他們正在運用學到的數學知識去描述生活，解釋現實，這是數感的具體表現。

　　三、激勵猜測驗證，發展數感

　　數學猜測是一種數學想象，能簡縮思維過程，發展學生的數感。驗證是指學生在進行探索之后，需要對結果進行驗證。引入時，從具體的情境中，讓學生猜猜“筆筒里有幾枝鉛筆？”既讓學生初步感受到數的相對大小，讓他們帶著問題去有興趣地數數，又了解了學生的起點，可謂是一箭三雕。實踐應用部分，抓一把糖約幾顆，抓一把鉛筆約幾枝，紅花本上大約有幾朵紅花等問題情境的設計，促使學生加深對數意義的理解，選擇參照物，逐步得出合理的結果，也促使學生有意識的將知識與生活問題聯系起來，主動解決生活中的問題，形成數學意識，發展數感。

　　發展學生的數感是數的學習的核心目標，學生數感的發展不是一朝一夕的事。作為一名小學數學教師，有責任讓數感貫穿在具體的數學教學過程中，能有意識地引導和培養學生的數感，從而提高學生的數學素養。