41．面積相同的形狀
測量某種形狀的面積與以單位面積的形狀單元作鑲嵌圖案有關．基本的形狀單元通常是取正方形．在這道題目中，主要的概念是在面積固定(2平方單位)，以及頂點位置受到限制的情況下，看能找到多少不同的形狀．找到新形狀的關鍵是利用圖1中的三角形．
這些三角形可以用許多不同的方式互相組合，而產生出2平方單位面積的形狀．可以用下列兩種方式來看任何一種形狀的面積：
(1)較小形狀的總和．
(2)從較大的形狀切除幾部分后所剩余的部分．
舉例來說，圖1中(4)所示的斜線部分的形狀，可以視為一個單位正方形與兩個面積為單位正方形一半的三角形的總和；或是視為四個單位正方形減去一個單位正方形與兩個面積為單位正方形一半的三角形．
這個活動比一般教科書上以長乘寬計算長方形面積的方式更基本，而且也更重要．
在5×5的釘板上可以找到更多的形狀，因為可以形成下列的三角形(圖2)．
42．釘板上的面積
在解答問題之前，你必須相信自己能夠正確導出所作出的形狀的面積．
所有內部只有1枚釘子的形狀皆滿足：
也就是說，面積恰為該形狀邊界上釘子數目的一半．
所有邊界上有12枚釘子的形狀皆滿足：
A=i+5
也就是說，面積等于內部釘子的數目加上5．
以上的公式都是皮克特定理的特殊情況．皮克特定理為：
43．釘板上的路徑
所有路徑的長度都是24，因為要走過25枚釘子，所以必須走24步．一般而言，路徑的長度為n2-1．可以找到旋轉式對稱的路徑，試著同時由不同端點出發而在中點會合，就可以找到對稱的路徑(圖1)．
可以走對角線時，在3×3的釘板上有許多種走法．因為有9枚釘子，所以由A至B必須走8步．要找到最短的路徑，需要交叉移動或上下移動，但要找到最長的路徑，就需要盡可能地利用對角線．
最短的路徑為8單位長(圖2)，其中1單位表示釘板上釘子與釘子之間的最短距離．
3×3的釘板上，只可能有兩種對角線走法，如圖3所示．PQ的長√5，約等于2.236單位，QR的長為√2，約為1.414單位。
這個結果可由勾股定理導出或用尺量出，但用尺量無法得到與用勾股定理計算同樣精確的結果．當路徑不得交叉時，最長的路徑如圖4(1)，其長度大約等于12.13．當路徑可以交叉時，就可以運用如PQ的走法，因此最長的路徑如圖4(2)所示，其長度大約為15.42．
請注意這兩種解答的對稱性．
有一種解法看起來比上兩種解法都要好，因為其中并不包含任何較短的步驟（圖5），不過其長度只有4√5+4√2≈14.6。
45．你能作出多少三角形
解這題需要分兩步．首先要決定能作出哪幾種三角形，然后計算每一種的個數．下列圖形是能在3×3釘板上形成的8種三角形．
第一種三角形有16個．每4枚釘子組成一個正方形，總共有4個正方形．
第二種三角形有16個，釘板邊緣的每對釘子都有2個．
第三種三角形有8個，每一邊有1個，以頂點為中心的有4個．
第四種三角形有16個，每一角落有2個，每一邊的中點有2個．
第五種三角形有4個，釘板的每一角落有1個．
第六種三角形有4個，釘板的每一邊有1個．
第七種三角形有4個，釘板的每一角落有1個．
第八種三角形有8個，釘板的每一邊有2個．
因此總共可以作出76個不同的三角形．
46．你能看出多少三角形
把直線相交的所有交點用英文字母予以標示，然后用字母標示出三角形，應該會有所幫助．雖然這個問題與前一題有些類似，但所用的方法卻不同．
例如，首先記錄所有以AB為邊的三角形，然后取AC，以此類推．
將三角形按字母順序排列，可以很容易看出是否重復計算了某個三角形．
47．電動船
這是個很有趣的題目，最初看起來似乎不太可能有解．
不管船的路徑如何，除非導航員把船引導至圖中的C點，否則兩船不可能相遇．在C點，AC的距離等于BC的距離，由B向C的方向也比由A向C的方向多90°．因此當船由A到達C時，另一艘船也會由B駛抵C．
48．四通八達
(1)A→C→E→B→D→A→B→C→D→E→A
還有許多其他可能的解，如：
A→B→C→D→A→C→E→B→D→E→A
(2)如果畫此網絡能使鉛筆不離開紙面，或不必走任何線兩次，則此網絡就具有穿程性(traversability)．在上一小題中，網絡具有穿程性；但在這一小題中，網絡只能分4個部分畫出，故鉛筆必須離開紙面3次．
最早研究穿程性網絡的人是18世紀早期的數學家歐拉(Eu-ler)，他所研究的就是著名的哥尼斯堡橋問題(Knigsbergbridges)．哥尼斯堡是德國的一個城市，普雷格爾河(RiverPregel)流經市區，河中有兩座小島，由7座橋把兩岸和兩座小島連接起來，如圖1所示．哥尼斯堡的居民長久以來一直想知道要如何才能走遍7座橋，而且每座橋只經過一次，最后又回到出發點，但他們找不到解決方法．當歐拉獲知此問題時，他便證明此問題無解．他首先用網絡代表上述的地圖，將城市的每個區域簡化成點，橋簡化成弧．現在，該問題就簡化成筆不離紙面就畫不出網絡的問題．
歐拉了解問題的關鍵是，A、B、C、D的弧線數目都是奇數——在B、C、D點有3條，在A點有5條(圖2)．
他證明有奇數條弧的網絡結點(奇數結點)，只能作為網絡的起點或終點，所以有4個奇數結點的哥尼斯堡橋問題無解．
要知道為何奇數結點不能作為網絡的中間點，可考慮如圖3所示的3-結點P，及其分支1、2與3．對于包含P的網絡，當鉛筆沿著1來到P點，并經由2離開，然后在走過一些其他弧線之后，應該沿著3回去，但這時卻沒有可以離開P的其他路．對任何奇數結點皆可以類似地論證，因此奇數結點只能作為起點或終點．只有在“所有的結點都是偶數結點(即具有偶數條弧線)”，或“除了兩個作為起點或終點的奇數結點外，所有結點都是偶數結點”這兩種情形下，網絡才具有穿程性．故哥尼斯堡人如果炸掉AB橋，或是在A與B之間增加第二座橋，就能解決這個問題了．
49．馬的位置
如圖是一種解法．請檢查是否每一個方格都會被攻擊．
也可以用5個王后，或9個王，或8個象得到相同的結果．請試一試！
50．倒轉火車
為了能有效地解出這個謎題，需要設計一些記錄各次移動的方法．如果能用一些標上號碼的籌碼代表火車，實際在鐵路網上移動，將有助于思考．在此題的解答中共作了15次移動，如箭頭所示．
