歐拉發(fā)現(xiàn)在多面體的頂點(diǎn)、邊與面的數(shù)目間存在著一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，這種關(guān)系被視為圖論(graph theory)中相當(dāng)重要的定理．

　　你現(xiàn)在應(yīng)該可以自己敘述歐拉關(guān)系了．看看此關(guān)系是否也能適用于其他的多面體，檢驗(yàn)一下你的推論．

　　當(dāng)時(shí)歐拉認(rèn)為這只是多面體的性質(zhì)，但后來(lái)數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系也能適用于球面或平面上的網(wǎng)絡(luò)．

　　考慮如圖1的網(wǎng)絡(luò)．其中有3個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B、C，4條弧p、q、r、s；這個(gè)網(wǎng)絡(luò)把平面分成3個(gè)區(qū)域1、2、3．這些數(shù)目滿(mǎn)足下列關(guān)系：

　　N-A+R=2

　　N為結(jié)點(diǎn)的數(shù)目，A為弧的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目．你覺(jué)得這與多面體的關(guān)系是否有什么類(lèi)似之處？

　　現(xiàn)在把上述的關(guān)系式用在其他的網(wǎng)絡(luò)上，試試結(jié)果如何．

　　你是否試過(guò)圖2中不相連的網(wǎng)絡(luò)？

　　你應(yīng)該會(huì)發(fā)現(xiàn)，上述的關(guān)系式需要視網(wǎng)絡(luò)中分離部分的數(shù)目作修正．看看你是否能找到一個(gè)公式，不管網(wǎng)絡(luò)中到底有多少部分，都能成立．

　　“歐拉關(guān)系”與“網(wǎng)絡(luò)關(guān)系”之間的聯(lián)系可以用圖3說(shuō)明．

　　想象一下，用具有彈性的材料做一個(gè)立方體，可以如圖3的方式伸展，然后壓平，成為平面上的網(wǎng)絡(luò)．原來(lái)立方體的每一個(gè)頂點(diǎn)現(xiàn)在都成為網(wǎng)絡(luò)中的結(jié)點(diǎn)，原來(lái)立方體的每一條邊現(xiàn)在則成為網(wǎng)絡(luò)中的一條弧．

　　立方體的每一面現(xiàn)在都成為平面中的一個(gè)區(qū)域，只除了ABCD之外，不過(guò)也可以把ABCD看成是代表網(wǎng)絡(luò)外部的區(qū)域．所有多面體以這種方式變換都可得到類(lèi)似的結(jié)果，但要注意的是，對(duì)有洞的多面體需要做進(jìn)一步的考察．

　　如果將多面體看作是三維空間分隔成不同區(qū)域，則對(duì)歐拉的關(guān)系式還可以作進(jìn)一步推廣．

　　考慮一下最簡(jiǎn)單的多面體——四面體(圖4)．

　　四面體將空間分成兩個(gè)區(qū)域，且

　　V-E+F-R=4-6+4-2=0

　　其中V、E、F各代表多面體的頂點(diǎn)、邊與面的數(shù)目，R為區(qū)域的數(shù)目．現(xiàn)在在立方體上加一個(gè)金字塔形的角錐體．這種組合將空間分成3個(gè)區(qū)域，包括9個(gè)頂點(diǎn)、16條邊與10個(gè)面(圖5)．

　　我們?cè)俣鹊贸?br />
　　V-E+F-R=0

　　這是由歐拉原始的關(guān)系式推廣得出的另一個(gè)關(guān)系式．用其他的方法分割空間，檢驗(yàn)一下這個(gè)關(guān)系式．