勾股定理證明方法之一的培利加剖分( Perigal’s dissection)在《數(shù)學(xué)樂(lè)園·茅塞頓開》中已經(jīng)描述過(guò)，但因?yàn)楣垂啥ɡ硎窍喈?dāng)重要的定理，故在此再特別舉出一些可行的證明方法，供讀者做比較．
下面列舉的前3個(gè)方法非常類似，而且都需要利用到4個(gè)全等的直角三角形．請(qǐng)將它們從卡片中剪下，并且實(shí)際練習(xí)看看．
(1)如圖1所示，將4個(gè)三角形排成邊長(zhǎng)為a＋b的正方形4BCD，使中間留下邊長(zhǎng)c的一個(gè)正方形洞(陰影部分)．
畫出正方形ABCD．現(xiàn)在移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為a與b的兩個(gè)正方形洞．這么一來(lái)，圖1和圖2中的陰影部分面積必定相等，所以
c2=a2+b2
(2)此證明以圖1為基礎(chǔ)：
正方形ABCD的面積=陰影部分正方形的面積+4個(gè)三角形的面積
得出 a2+b2=c2
(3)這次將4個(gè)直角三角形的直角部分朝內(nèi)放，排成一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形PQRS(見(jiàn)圖3)，中間的洞(陰影部分)則是邊長(zhǎng)為b－a的正方形．
正方形PQRS的面積=陰影部分正方形的面積+4個(gè)三角形的面積
得出 c2=a2+b2
(4)此證明于1860年首次發(fā)表，同樣也是著眼于使面積相等的概念．這題與上述的第一、第二個(gè)方法有頗多類似之處．
正方形ABNL的面積
=正方形KCOM的面積－4個(gè)三角形的面積
=正方形DFHI的面積－4個(gè)三角形的面積
=正方形DFHI的面積－長(zhǎng)方形ACBI的面積－長(zhǎng)方形CEFC的面積
=正方形ADEC的面積+正方形BCGH的面積故可得
c2=b2+a2
(5)介紹了許多幾何變換的方法后，這里要以有趣的切變換(shearing transformation)為基礎(chǔ)來(lái)證明勾股定理．參見(jiàn)圖 5．
將以BC為邊的正方形斜切至右方，并將以AC為邊的正方形向上切至與直線CD相連．(要記住，切變換使面積保持不變．)然后再將圖形沿直線DC切換，直到圖形抵達(dá)直線AB為止，這時(shí)圖形變成正方形ABEF．
以AB為邊的正方形面積=以BC為邊的正方形面積+以AC為邊的正方形面積
所以 c2=a2+b2
(6)此證明有時(shí)會(huì)利用相似三角形來(lái)解釋，但參考圖6用三角函數(shù)來(lái)證明會(huì)更容易些．
AB=AN+NB
c=b cosθ+a cosφ
將上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以c，則得
c2=b2+a2
(7)勾股定理最令人滿意的證明之一就是用向量來(lái)證明，參見(jiàn)圖7所示．
c2=c·c=(a+b)·(a+b)=a·a+2a·b+b·b=a2+b2
因?yàn)?/font> a⊥b
所以a·b=0
