人類從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開(kāi)始就一直和自然數(shù)打交道了，后來(lái)由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來(lái)叫做整數(shù)。

   對(duì)于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無(wú)阻礙地進(jìn)行。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無(wú)阻礙地進(jìn)行。

   人們?cè)趯?duì)整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來(lái)許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。

   數(shù)論這門(mén)學(xué)科最初是從研究整數(shù)開(kāi)始的，所以叫做整數(shù)論。后來(lái)整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說(shuō)，數(shù)論就是一門(mén)研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。

    數(shù)論的發(fā)展簡(jiǎn)況

   自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說(shuō)還沒(méi)有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。

   自我國(guó)古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問(wèn)題等等。在國(guó)外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)論中一個(gè)最基本的問(wèn)題——整除性問(wèn)題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來(lái)應(yīng)用了。后來(lái)的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對(duì)整數(shù)性質(zhì)的研究做出過(guò)重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。

   在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。

   到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫(xiě)了一本書(shū)叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國(guó)科學(xué)院，但是法國(guó)科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書(shū)開(kāi)始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。

   在《算術(shù)探討》中，高斯把過(guò)去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問(wèn)題和意志的方法進(jìn)行了分類，還引進(jìn)了新的方法。

    數(shù)論的基本內(nèi)容

   數(shù)論形成了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來(lái)說(shuō)，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。

   初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依*初等的方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國(guó)古代有名的“中國(guó)剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

   解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對(duì)象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題是由歐拉奠基的，俄國(guó)數(shù)學(xué)家車(chē)比雪夫等也對(duì)它的發(fā)展做出過(guò)貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。比如，對(duì)于“質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)的若干知識(shí)。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對(duì)于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在解決“哥德巴赫猜想”問(wèn)題中也使用的是解析數(shù)論的方法。

   代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

   幾何數(shù)論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開(kāi)創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對(duì)象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)。空間格網(wǎng)對(duì)幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問(wèn)題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。

   數(shù)論是一門(mén)高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長(zhǎng)期以來(lái)，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對(duì)于大多數(shù)人來(lái)講并不清楚它的實(shí)際意義。

   由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。

   數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢�取”。下面�?jiǎn)要列出幾顆“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題、哥德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問(wèn)題、完全數(shù)問(wèn)題……

   在我國(guó)近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開(kāi)始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過(guò)重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“哥德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績(jī)。

   特別是陳景潤(rùn)在1966年證明“哥德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國(guó)際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤(rùn)的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“哥德巴赫猜想”的最好結(jié)果。