有一種叫“24點”的游戲曾經風靡美國、日本等許多國家，深受青少年朋友的喜愛。這種游戲將兩張王牌去掉，把A、J、Q、K分別看作1點，11點、12點、13點，或者將它們均看1點，其余牌面是幾點，就是幾點。

    玩的規則不盡相同，其中有一種方法是：

    （1）四個人每人抓到13張牌，每人每次從手中任意抽取一張牌。

    （2）參加游戲者對這四張牌所代表的數值進行＋、－、×、÷、（）運算，使結果為24。

    （3）誰先列出，誰就得1分，牌入底；若四人均無法列出，則無人得分，牌也入底。

    （4）再次每人任意抽取一張牌，再次按（2）（3）規則進行。

    （5）重復（2）、（3）、（4），直至每人手中13張牌全部用完為一局，得分多者為勝。

    例如，抽出的四張牌為3、4、7、11，可以這樣計算：

    （7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24

    這是一種非常有趣的游戲，下面我們一起來試一試：

    例1  抽出下面四組牌：（A，J，Q，K分別為1點，11點，12點，13點）

    （1）2，3，4，5         （2）3，4，5，10

    （3）K，7，9，5         （4）J，6，Q，5

    你能算出24點嗎？

    分別：要想比賽獲勝，必須有一些技巧。那就是要非常清楚24可以由怎樣的兩個數求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……這樣就可以把問題轉化成怎樣使用4個數，湊出兩個數的問題，其中有一點值得大家注意，就是四個數的順序可以依據需要任意安排。

    解：（1）依據2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，

    （2）依據3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，

    （3）依據4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，

    （4）依據18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24

    說明：上面各題的解法并不一定是唯一的，如依據4×6＝24，也可得第（2）組為4×（10×3÷5）＝24，可是，就因為這樣，才非常激烈、刺激。

    例2  如果恰巧四個人抽出的撲克牌是“1～9”中的同一數字的牌，請你幫忙想一想哪種情況可以算出“24”？怎樣算？

    分析：四人抽出同一數字的牌有9種情況，4個1，4個3，4個4……4個8，4個9，現在的問題轉化為如何使四個相同的數字（1~9中的一個）填加運算符號，得“24”的問題。由于4個數字相同，用乘法關系最后求得“24”就不太容易，應考慮＋、－關系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……經過嘗試，我們發現，4個1，4個2，由于數太小，無法算出“24”，而4個7，4個8，4個9由于太大，也無法算出。其余可以實現。

    解：依據27－3＝24 ，可得3×3×3－3＝24，

    依據20＋4＝24 ，可得4×4＋4＋4＝24，

    依據25－1＝24 ，可得5×5－5÷5＝24，

    依據12＋12＝24 ，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，

    說明：有些不能算出24，可能是由于我們知識水平的限制，而并非真的不能，如請同學們想一想4個10，4個11，4個12，4個13你能求解嗎？

    由上面的例子，我們可以很自然地想到這種游戲可以發展成一類專門的數學的問題，下面我們就來研究。

    例3  填上適當的運算符號，使算式成立

    （1）4 4 4 4＝5

    （2）4 4 4 4＝6

    （3）4 4 4 4＝7

    （4）4 4 4 4＝8

    （5）4 4 4 4＝9

    （6）4 4 4 4＝10

    分析：（1）4 4 4 4＝5，最后一個4前面是三個4，如可湊出1，1＋4＝5，如可湊出20，20÷4＝5，4×4 ＋4＝20，因此可求解。

    （2）4 4 4 4＝6，最后一個4前面是三個4，如可湊出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。

    （3）4 4 4 4＝7，前面兩個4＋4＝8，后面兩個4得1即可求解，4÷4＝1剛剛好。

    （4）和（6）可利用（3）的思路稍加變化就可以求解。

    （5）4 4 4 4＝10，最后一個4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，數字連用在這類題目中是常用的一種技巧。（題目中沒有限制，當然是可以這樣做的）。

    解：

    （1）（4×4＋4）÷ 4＝5

    （2）（4＋4）÷4＋4＝6

    （3）（4＋4）－4÷4＝7

    （4）（4＋4）×4÷4＝8

    （5）（4＋4）+4÷4＝9

    （6）（44－4）÷4＝10

    說明：（1），（2），（6）中的解題思路是一種倒推的方法，這是一種常用的，行之有效的方法同學們加以掌握。（4），（5）中解題思路是依據數字的特點，這種方法，依賴于良好的數感，需要大家經過一段時間的訓練才能獲得。

    例4  不用（），且運算符號不超過三次，添在適當位置，使下面的算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9=1000

    分析：不使用（），運算順序只能從左往右，先×、÷后＋、－；運算符號不超過三次，就會得到一些多位數。首先選一個多位數盡可能接近1000，可選999，1000－999＝1，后面6個 9要得到“1”，就很簡單了999÷999，問題可求解；還可以用另一種方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，后面9999想辦法等于111，999÷9＝111，問題也可解出。

    解：999＋999÷999＝1000

    9999÷9－999÷9＝1000

    說明：先靠近所求數，再進行適當調整，這是一種非常行之有效的方法，在數字比較多時常常用到。當然此題還有其它方法，同學們

    可以用上面的思路再試一試。

    例5  填入適當運算符號，使下式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1＝1000

    分析：此題中9~1九個數字各不相同，位置固定，初看與前面的例題有很大不同，但是經仔細讀題，認真分析，我們可以發現，做此題時，＋、－、×、÷（）均可使用，運算符號用多少次沒有限制，數字可以連用，也可以分開，條件很寬松。由于1000數比較大，我們也采用例4中靠近結果，再湊較小數的方法解決�？梢杂�987＋6＝993，再用5 4 3 2 1湊成7即可，這個方法就很多了。還可以取前邊987和后邊的21相加得1008，中間的6 5 4 3 湊成8就行了。

    解：987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000

    987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000

    987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000

    987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000

    987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000

    說明：此題還有許多解決，但不論哪種方法，都遵循先靠近結果，再湊較少數的原則，大家可以再想想，你還能想到什么方法？

    例6  在下列算式中合適的地方，填上括號，使算式成立。

    （1）4＋5×6＋8÷4－2＝30

    （2）4＋5×6＋8÷4－2＝39

    （3）4＋5×6＋8÷4－2＝21

    （4）4＋5×6＋8÷4－2＝140

    分析：（1）從最后一步逆推，減2前面的式子得32，還從后面入手，這就需要4＋5×6＋8，填上適當的括號得128，嘗試發現括號的填法有兩種（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分別得128，74，因此括號的填法為[（4＋5）×6＋8] ÷4－2＝30

    （2）從最后一步逆推，減號前面的式子要得41，還從后面入手要求4＋5×6＋8＝41×4這是無法實現的。從前面入手考慮，就應設法使5×6＋8÷4－2＝35，還從前面想這就需要6＋8÷4－2＝7，可從這樣實現（6＋8）÷（4－2）。因此括號的填法為4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

    （3）從后面減2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4無論如何填加括號，都不可能現實。把4－2放在一個括號里等于2，i除號前面的式子就要得42，通過觀察容易發現，4＋5×6＋8按順序計算就可得42，所以此題括號的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

    （4）140比較大，應充分發揮“×”的作用，使“×”左右兩側的因數盡可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再縮小2倍，就是所求結果，正好“÷”后面4－2＝2，所以此題括號的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

    解：

    （1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30

    （2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

    （3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

    （4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

    說明：填括號時既可以用“（）”，也可以根據需要用“[]”，從一端想起經過嘗試，淘汰，最終可以找到解題方法。

閱讀材料

    數學符號的起源

    數學除了記數以外，還需要一套數學符號來表示數和數、數和形的相互關系。數學符號的發明和使用比數字晚，但數量多得多�，F在常用的200多個，初中數學書里就不下20多種。他們都有一段有趣的經歷。例如：（1）加號曾經有好幾種，現在通用“+”號。“+”號是由拉丁文“et”（“和”的意思）演變而來的。也有人說，賣酒的商人用“-”表示酒桶里的酒賣了多少。以后，當把新酒灌入大桶的時候，就在“-”上加一豎，意思是把原線條勾銷。這樣就成了個“+”號。到了十五世紀，德國數學家魏德美正式確定：“+”用作加號，“-”號用作減號。（2）乘號曾經用過十幾種，現在通用兩種。一個是“×”，最早是英國數學家奧屈特1631年提出的；一個是“•”，最早是英國數學家赫銳奧特首創的。德國數學家萊布尼茨認為：“×”向拉丁字母“X”，加以反對，而贊成用“• ”號。到了十八世紀，美國數學家歐德萊確定，把“×”作為乘號，他認為“×”是“+”斜起來寫，是另一種表示增加的符號。（3）“÷”最初作為減號，在歐洲大陸長期流行。直到1631年英國數學家奧屈特用“：”表示除或比，另外有人用“－”（除線）表示除。后來瑞士數學家拉哈在他所著的《代數學》里，才根據群眾創造，正式將“÷”作為除號。（4）十六世紀法國數學家維葉特用“=”表示兩個量的差別�？墒怯�國牛津大學數學、修辭學教授列考爾德覺得：用兩條平行而又相等的直線來表示兩數量相等是最合適不過的了，于是等于符號“=”就從1540年開始使用起來。1591年，法國數學家韋達大量使用這個符號，才逐漸為人們接受。

練習題

    1．在“24”點游戲中提出了下面幾組牌，你能很快求出“24”嗎？

    （1）1，3，5，7      （2）2，5，7，9

    （3）1，3，9，10     （4）10，4，10，4

    （5）K，Q，J，J      （6）Q，10，Q，1

    分析：（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以這樣做（10×10－4）÷4＝24

    （5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依據25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24

    （6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依據12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24

    解：

    （1）（5＋7）×（3－1）＝24  （2）5×7－9－2＝24

    （3）（1＋10）×3－9＝24     （4）（10×10－4）÷4＝24

    （5）13＋12－11÷11＝24     （6）12×（12－10）×1＝24

    2．在“24”點游戲中，抽出了下面兩組牌，你能求出“24”嗎？

    （1）3，3，7，7  （2）1，5，5，5

    分析：（1）用常用的方法無論怎么求都不能得出“24”，是否就沒有辦法了呢？當然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

    （3＋3÷7）×7

    ＝3×7＋3÷7×7

    ＝24

    （2）用同樣的方法求解

    （5－1÷5）×5

    ＝5×5－1÷5×5

    ＝24

    解：（1）（3＋3÷7）×7＝24

    （2）（5－1÷5）×5＝24

    說明：熟練地掌握運算定律可以把題目化難為易，這里安排這兩個題是為了開闊同學們的眼界，拓寬同學們的思路。

    3．抽的四張牌恰好是“1～9”中從大到小連續排列的四張，這樣的牌能算出“24”嗎？

    分析：符合要求的組合有六組：即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不難發現它們均可求出24點。

    解：

    （1）依據4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24

    （2）依據2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24

    （3）依據2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24

    （4）依據4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24

    （5）依據4×6＝24得1×2×3×4＝24

    說明：這個例子告訴我們不論從大到小，還是從小到大，連續取“1~9”中任意四個數均可湊成“24”。

    4．添上適當的運算符號，使算式成立。

    （1）6 6 6 6＝1  （2）6 6 6 6＝2

    （3）6 6 6 6＝3  （4）6 6 6 6＝4

    （5）6 6 6 6＝5  （6）6 6 6 6＝6

    分析：（1）根據A÷A＝1，可得許多種解，如（6＋6）÷（6＋6）＝1或（6×6）÷（6×6）＝1……

    （2）根據1＋1＝2，可得6÷6＋6÷6＝2
   
    （3）根據18÷6＝3，可得（6＋6＋6）÷6＝3

    （4）根據6－2＝4，可得6－[（6＋6）÷6]＝4

    （5）根據30÷6＝5，可得（6×6－6）＝5

    （6）根據0＋6＝6，可得6×（6－6）＋6＝6或（6－6）×6＋6＝0……

    解：

    （1）（6＋6）÷（6＋6）＝1   （2）（6÷6）＋（6÷6）＝2

    （3）（6＋6＋6）÷6＝3       （4）6－［（6＋6）÷6］＝4

    （5）（6×6－6）÷6＝5       （6）（6－6）×6＋6＝0

    5．用7個7組成4個數，并使運算結果為100

    7，7，7，7，7，7，7＝100

    分析：首先要使一部分接近100，777÷7＝111，111－100＝11，后面的777湊成11就可以了77÷7＝11，所以可以這樣解：

    777÷7－77÷7＝100

    6．在9個9之間填適當的運算符號，使下面算式成立。

    9 9 9 9 9 9 9 9 9＝2008

    分析：先要想辦法使一部分靠近“2000”，999＋999＝1998，2008－1998＝10，后面的三個9湊成10即可。

    解：999＋999＋9÷9＋9＝2008

    說明：前六個數也可以用其他方法求得1998，如999×[（9＋9）÷9]＝1998這種題目往往不只一種解法。

    7．填上適當的運算符號，使算式成立。

    9 8 7 6 5 4 3 2 1＝2007

    分析：結果較大，先用一部分湊出與2007相接近的數，即654×3＝1962而2007－1962＝45，現在我們要辦法使9，8，7，2，1湊成45，而45－21＝24，9＋8＋7＝24。

    解：9＋8＋7＋654×3＋21＝2007

    8．在11～15之間，選擇恰當位置，填上適合的運算符號，使算式結果為100。

    11 12 13 14 15=100

    分析：原題的意思是使下式成立：

    1 1 1 2 13 14 15 ＝100

    取121靠近100，11＋121－31＝101，415湊成“1”即可有解，（4＋1）÷5＝1。還可以取111靠近100，111－21＝90，3 1 4 1 5 湊成10即可有解，3－1＋4－1＋５＝10此題還有許多方法，請同學們自己試一試。

    解：11＋121－31－（4＋1）÷5＝100或111－21＋3－1＋4－1 ＋5＝100

    9．現有的牌為1～10，請從中選牌，每張牌只用一次，使下列“24”點游戲成立。

    （1）□＋□×６＋11＝24 

    （2）（□＋5）×2＋□＝24

    （3）（□×10－□）÷4＋11＝24

    （4）□×3－□÷2＝24

    （5）□×5－4÷4＝24

    （6）13＋□×3－10＝24

    分析：觀察這六個算式，我們發現（5），（6）很好確定所選牌是5和7。再觀察余下的四個算式，（4）□×3－□÷2＝24，□×3>24，□可取9，10，取10時，□÷2的方塊在1~10中無值可取，所以□×3只能取9，另一個□中可以取6。

    再來觀察（3）（□×10－□）÷4＝24  24×4＝96，所以□×10－□＝96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一個方□中就只能取4。

    接下來看（1）□+□×6+11＝24，24－11＝13，□+□×6＝13，□×6<13的方格中可取1和2；取1時有7＋1×6＝13，7在（6）中已經用過，所以□×6的方格中只能取2，另一個□中取1。

    最后觀察（2）式，現在只剩下3、8，（□＋5）×2為偶數，24為偶數，所以第二個□只能取8，第一個方面中取3。

    解：

    （1） ×６＋11＝24      （2）（ ＋5）×2＋ ＝24

    （3）（ ×10－ ）÷4＝24  （4） ×3－ ÷2＝24

    （5） ×5－4÷4＝24         （6）13＋□×3－10＝24

    10．在適當的位置中，填上括號，使下列算式成立。

    （1）9＋60÷3＋2×4－1＝30

    （2）9＋60÷3＋2×4－1＝56

    （3）9＋60÷3＋2×4－1＝15

    （4）9＋60÷3＋2×4－1＝45

    分析：（1）題中只有÷3，－1兩處可以使數值變小，特別值得注意的是“－”后面只有1，所以要想辦法使算式中數靠近30，又要小于30，（9＋60）÷3＝23，再使后面得7即可，2×4－1正好得7。

    （2）56是個較大的數，我們還要先靠近56，再湊小數，在中間的÷、×之間想辦法，60÷（3＋2）×4＝48，再加8就得結果了，9－1＝8。

    （3）從前端想15－9＝6，想辦法使后面部分得6，60÷10＝6，3＋2×4－1正好得10。

    （4）從前端想45－9＝36，36＝12×3＝9×4，60÷（3＋2）＝12，4－1＝3，可求解。

    解：（1）（9＋60）÷3＋2×4－1＝30

    （2）9＋60÷（3＋2）×4－1＝56

    （3）9＋60÷（3＋2×4－1）＝15

    （4）9＋60÷（3＋2）×（4－1）＝45