同學們要參加運動會入場式,要進行隊列操練,解放軍排著整齊的方隊接受檢閱等,無論是訓練或接受檢閱,都要按一定的規則排成一定的隊形,于是就產生了這一類的數學問題,今天我們將共同研究和分析這類問題。
士兵排隊,橫著排叫行,豎著排叫列,若行數與列數都相等,正好排成一個正方形,這就是一個方隊,這種方隊也叫做方陣(亦叫乘方問題)。
方陣的基本特點:
(1)方陣不論哪一層,每邊上的人(或物)數量都相同,每向里一層,每邊上的 人數就少2。
(2)每邊人(或物)數和四周人(或物)的關系;
四周人(或物)數=[每邊人(或物)數-1]×4
每邊人(或物)數=四周人(或物)數÷4+1
(3)中實方陣的總人數(或物)=每邊人(或物)數×每邊人(或物)數
(4)空心方陣的總人(或物)數=（最外層每邊人(或物)數－空心方陣的層數）×空心方陣的層數×4
例1.三年級一班參加運動會入場式,排成一個方陣,最外層一周的人數為20人,問方陣最外層每邊的人數是多少?這個方陣共有多少人?
分析:根據四周人數與每邊人數的關系可知:
每邊人數=四周人數÷4+1,可以求出這個方陣最外層每邊的人數,那么這個方陣隊列的總人數就可以求了。
解:(1)方陣最外層每邊的人數:20÷4+1=5+1=6(人)
(2)整個方陣共有學生人數:6×6=36(人)
答:方陣最外層每邊的人數是6人,這個方陣共有36人。
例2.明明用圍棋子擺成一個三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子15個,明明擺這個方陣最里層一周共有多少棋子?擺這個三層空心方陣共用了多少個棋子?
分析:(1)方陣每向里面一層,每邊的個數就減少2個,知道最外面一層,每邊放15個,可以求出最里層每邊的個數,就可以求出最里層一周放棋子的總數。
(2)根據最外層每邊放棋子的個數減去這個空心方陣的層數,再乘以層數,再乘以4,計算出這個空心方陣共用棋子多少個。
解:(1)最里層一周棋子的個數是:(15-2-2-1)×4=40(個)
(2)這個空心方陣共用的棋子數是:(15-3)×3×4=144(個)
答:這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個空心方陣共用144個棋子。
例3.玲玲家的花園中,有一個如下圖那樣,由四個大小相同的小等邊三角形組成的一個大三角形花壇,玲玲在這個花壇上種了若干棵雞冠花,已知每個小三角形每邊上種雞冠花5棵,問大三角形的一周有雞冠花多少棵?玲玲一共種雞冠花多少棵?
分析:(1)由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形的邊組成的,而在大三角形一條邊的中間那棵花,是兩條小三角形的邊所共用的,所以如果小三角形每邊種花5棵,那么大三角形每邊上種花的棵數就是5×2-1=9棵了,又由于大三角形三個頂點上的3棵花,都是大三角形的兩條邊所共用的,所以大三角形一周種花的棵數等于大三角形三邊上種花棵數的和減去三個頂點上重復計算的3棵花,即:9×3-3=24,就是大三角形一周種花的棵數。
(2)三角形各條邊上種雞冠花棵數的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數,加上大三角形一周種花的棵數,再減去重復計算的3棵花(因為里邊小三角形的三個頂點上的三棵花,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花)。
解:(1)大三角形一周上種花的棵數是:(5×2-1)×3-3=24(棵)
(2)小三角形一周種雞冠花的棵數是:(5-1)×3=12(棵)
(3)玲玲一共種雞冠花的棵數是:24+12-3=33(棵)
答:大三角形一周種雞冠花24棵;玲玲一共種雞冠花33棵。
例4.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個方陣,其中甲方陣每邊的人數等于8,如果兩隊合并,可以另排成一個空心的丙方陣,丙方陣每邊的人數比乙方陣每邊的人數多4人,甲方陣的人數正好填滿丙方陣的空心五年級參加廣播操比賽的一共有多少人?
分析:若只排列一個乙方陣,則多余的人數為(即甲方陣的人數)8×8=64(人),排列一個實心的丙方陣,不足的人數是:8×8=64(人)假設丙方陣為實心方陣,則乙多的人數是:8×8+8×8=128(人),又根據方陣擴展一層,每邊增加2人,丙方陣比乙方陣的外邊多4人,丙方陣多于乙方陣的層數是4÷2=2(層),方陣擴展2層,需要增加128人,則方陣最外層的人數是(128+2×4)÷2=68(人),丙方陣的總人數18×18-8×8=260(人)
解:(1)假設丙方陣為實心方陣,則方陣最外層的人數是:(8×8+8×8+2×4)÷2=68(人)
(2)丙方陣最外層每邊的人數是:68÷4+1=18(人)
(3)空心丙方陣的總人數:18×18-8×8=324-64=260(人)
答:五年級參加廣播操比賽的一共有260人。
例5.有楊樹和柳樹以隔株相間的種法,種成7行7列的方陣,問這個方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹,柳樹各多少棵?
分析:根據已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設黑點表示楊樹,白點表示柳樹觀察圖(1)(2)不管是柳樹種在方陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳樹的棵數相等,即最外層楊,柳樹分別為(7-1)×4÷2=12(棵)。
當柳樹種在方陣最外層的角上時,最內層的一棵是柳樹;當楊樹種在方陣最外層的角上時,最內層的一棵是楊樹,即在方陣中,楊樹和柳樹總數相差1棵。
解:(1)最外層楊柳樹的棵數分別為:(7-1)×4÷2=12(棵)
(2)當楊樹種在最外層角上時,楊樹比柳樹多1棵:
楊樹:(7×7+1)÷2=25(棵)
柳樹:7×7-25=24(棵)
(3)當柳樹種在最外層角上時,柳樹比楊樹多1樹
柳樹(7×7+1)÷2=25(棵)
楊樹7×7-25=24(棵)
答:在圖(1)(2)兩種方法中,方陣最外層都有楊樹12棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹12棵,方陣中總共有楊樹25棵,柳樹24棵,或者有楊樹24棵,柳樹25棵。
練 一 練
1.有一隊士兵,排成了一個方陣,最外層一周共有240人,問這個方陣共有多少人?
2.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣如果最外層每邊有20個學生,問這個空心方陣最里邊一周有多少個學生?這個四層空心方陣共有多少個學生?
3.六一兒童節前夕,在校園雕塑的周圍,用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆?
4.三年級(1)班的學生參加體操表演,排成隊形正好是由每7個人為一邊的6個三角形組成的一個正六邊形,求正六邊形一周共有多少名學生?三(1)班參加體操表演的共有多少人?
5.現有松樹和柏樹以隔株相間的種法,種成9行9列的方陣,問這個方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵?方陣中共有松樹柏樹各多少棵?
練 一 練 答 案
(1)(240÷4)-1=59(人) 59×59=3481(人)
(2)(20-2×3-1)×4=42(個) (20-40×4×4=256(個)
(3)最外層每邊人數=總數÷4÷層數+層數
204÷4÷3+3=20(盆)
(4)7×6-6=36(人) 7×12-6×2-5=67(人)
(5)最外層松柏各是:(9-1)×4÷2=16(棵)
共有松柏樹是:(9×9+1)÷2=41(棵) 81-41=40(棵)
答:柏樹41棵,松樹40棵,或松樹41棵,柏樹40棵。
