一、基本概念和知識

　　1.質數與合數

　　一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。

　　一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。

　　要特別記�。�1不是質數，也不是合數。

　　2.質因數與分解質因數

　　如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。

　　把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。

　　例：把30分解質因數。

　　解：30＝2×3×5。

　　其中2、3、5叫做30的質因數。

　　又如12＝2×2×3＝22×3，2、3都叫做12的質因數。

二、例題

例1 三個連續自然數的乘積是210，求這三個數.

　　解：∵210=2×3×5×7

　　∴可知這三個數是5、6和7。

例2 兩個質數的和是40，求這兩個質數的乘積的最大值是多少？

　　解：把40表示為兩個質數的和，共有三種形式：

　　40=17+23=11＋29=3+37。

　　∵17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。

　　∴所求的最大值是391。

　　答：這兩個質數的最大乘積是391。

例3 自然數123456789是質數，還是合數？為什么？

　　解：123456789是合數。

　　因為它除了有約數1和它本身外，至少還有約數3，所以它是一個合數。

例4 連續九個自然數中至多有幾個質數？為什么？

　　解：如果這連續的九個自然數在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質數（如：1～9中有4個質數2、3、5、7）。

　　如果這連續的九個自然中最小的不小于3，那么其中的偶數顯然為合數，而其中奇數的個數最多有5個.這5個奇數中必只有一個個位數是5，因而5是這個奇數的一個因數，即這個奇數是合數.這樣，至多另4個奇數都是質數。

　　綜上所述，連續九個自然數中至多有4個質數。

例5 把5、6、7、14、15這五個數分成兩組，使每組數的乘積相等。

　　解：∵5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5，

　　這些數中質因數2、3、5、7各共有2個，所以如把14

　　（=2×7）放在第一組，那么7和6（=2×3）只能放在第二組，繼而15（＝3×5）只能放在第一組，則5必須放在第二組。

　　這樣14×15=210=5×6×7。

　　這五個數可以分為14和15，5、6和7兩組。

例6 有三個自然數，最大的比最小的大6，另一個是它們的平均數，且三數的乘積是42560.求這三個自然數。

分析 先大概估計一下，30×30×30=27000，遠小于42560.40×40×40＝64000，遠大于42560.因此，要求的三個自然數在30～40之間。

　　解：42560=26×5×7×19

　�。�25×（5×7）×（19×2）

　　＝32×35×38（合題意）

　　要求的三個自然數分別是32、35和38。

例7 有3個自然數a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，

　　a×c＝10.求a×b×c是多少？

　　解：∵6＝2×3，15=3×5，10＝2×5。

　　（a×b）×（b×c）×（a×c）

　　=（2×3）×（3×5）×（2×5）

　　∴a2×b2×c2=22×32×52

　　∴（a×b×c）2＝（2×3×5）2

　　a×b×c=2×3×5＝30

　　在例7中有a2＝22，b2=32，c2=52，其中22=4，32＝9，52＝25，像4、9、25這樣的數，推及一般情況，我們把一個自然數平方所得到的數叫做完全平方數或叫做平方數。

　　如.12=1，22＝4，32＝9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方數.

　　下面讓我們觀察一下，把一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數有什么特征。

　　例如：把下列各完全平方數分解質因數：

　　9，36，144，1600，275625。

　　解：9=32 36=22×32 144=32×24

　　1600=26×52 275625=32×54×72

　　可見，一個完全平方數分解質因數后，各質因數的指數均是偶數。

　　反之，如果把一個自然數分解質因數之后，各個質因數的指數都是偶數，那么這個自然數一定是完全平方數。

　　如上例中，36＝62，144=122，1600=402，275625=5252。

例8 一個整數a與1080的乘積是一個完全平方數.求a的最小值與這個平方數。

分析 ∵a與1080的乘積是一個完全平方數，

　　∴乘積分解質因數后，各質因數的指數一定全是偶數。

　　解：∵1080×a=23×33×5×a，

　　又∵1080=23×33×5的質因數分解中各質因數的指數都是奇數，

　　∴a必含質因數2、3、5，因此a最小為2×3×5。

　　∴1080×a＝1080×2×3×5＝1080×30＝32400。

　　答：a的最小值為30，這個完全平方數是32400。

例9 問360共有多少個約數？

分析 360=23×32×5。

　　為了求360有多少個約數，我們先來看32×5有多少個約數，然后再把所有這些約數分別乘以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有約數.為了求32×5有多少個約數，可以先求出5有多少個約數，然后再把這些約數分別乘以1、3、32，即得到32×5的所有約數。

　　解：記5的約數個數為Y1，

　　32×5的約數個數為Y2，

　　360（=23×32×5）的約數個數為Y3.由上面的分析可知：

　　Y3=4×Y2，Y2＝3×Y1，

　　顯然Y1=2（5只有1和5兩個約數）。

　　因此Y3＝4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。

　　所以360共有24個約數。

　　說明：Y3=4×Y2中的“4”即為“1、2、22、23”中數的個數，也就是其中2的最大指數加1，也就是360＝23×32×5中質因數2的個數加1；Y2=3×Y1中的“3”即為“1、3、32”中數的個數，也就是23×32×5中質因數3的個數加1；而Y1=2中的“2”即為“1、5”中數的個數，即23×32×5中質因數5的個數加1.因此

　　Y3＝（3＋1）×（2+1）×（1+1）=24。

　　對于任何一個合數，用類似于對23×32×5（=360）的約數個數的討論方式，我們可以得到一個關于求一個合數的約數個數的重要結論：

　　一個合數的約數個數，等于它的質因數分解式中每個質因數的個數（即指數）加1的連乘的積。

例10 求240的約數的個數。

　　解：∵240＝24×31×51，

　　∴240的約數的個數是

　�。�4＋1）×（1+1）×（1＋1）=20，

　　∴240有20個約數。

　　請你列舉一下240的所有約數，再數一數，看一看是否是20個？