小學(xué)奧數(shù)競賽專題之最優(yōu)化問題

　　[專題介紹]最優(yōu)化概念反映了人類實(shí)踐活動中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間前提下，爭取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃一排序不等式等內(nèi)容。

　　最優(yōu)化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強(qiáng)，因此對于開拓解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎(chǔ)知識相當(dāng)廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以例題的方式讓大家體會解決這些問題的方法和經(jīng)驗(yàn)。

　　[經(jīng)典例題]

　　例1:貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運(yùn)走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？

　　[分析]因?yàn)槊恳恢幌渥拥闹亓坎怀�過1噸，所以每一輛汽車可運(yùn)走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運(yùn)走。例如，設(shè)有13只箱子，，所以每輛汽車只能運(yùn)走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運(yùn)不走。

　　因此，為了保證能一次把箱子全部運(yùn)走，至少需要5輛汽車。

　　例2:用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？

　　[分析]一個(gè)10尺長的竹竿應(yīng)有三種截法：

　　（1）3尺兩根和4尺一根，最省；

　　（2）3尺三根，余一尺；

　　（3）4尺兩根，余2尺。

　　為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。

　　例3:一個(gè)銳角三角形的三條邊的長度分別是兩位數(shù)，而且是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，它們個(gè)位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，這個(gè)三角形的周長最長應(yīng)是多少厘米？

　　[分析]因?yàn)槿�角形三邊是三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，所以它們的個(gè)位數(shù)字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數(shù)，又因?yàn)樗鼈兊膫�(gè)位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為86+88+90=264厘米。

　　例4:把25拆成若干個(gè)正整數(shù)的和，使它們的積最大。

　　[分析]先從較小數(shù)形開始實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：

　　把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；

　　把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；

　　把8拆成3+3+2，其積為3×3×2=18最大；

　　把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；……

　　這就是說，要想分拆后的數(shù)的乘積最大，應(yīng)盡可能多的出現(xiàn)3，而當(dāng)某一自然數(shù)可表示為若干個(gè)3與1的和時(shí)，要取出一個(gè)3與1重合在一起再分拆成兩個(gè)2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。

　　例5:A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個(gè)人24天的食物和水，如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，問其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發(fā)點(diǎn)）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時(shí)取用呢？

　　[分析]設(shè)A走X天后返回，A留下自己返回時(shí)所需的食物，剩下的轉(zhuǎn)給B，此時(shí)B共有（48-3X）天的食物，因?yàn)锽最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時(shí)用，所以B可以向沙漠深處走16天，因?yàn)槊刻熳?0千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。

　　如果改變條件，則問題關(guān)鍵為A返回時(shí)留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨(dú)深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可以深入沙漠360千米。

　　例6:甲、乙兩個(gè)服裝廠每個(gè)工人和設(shè)備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服，甲廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)上衣，的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠每月用的時(shí)間生產(chǎn)上衣，的時(shí)間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服，現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產(chǎn)西服多少套？

　　[分析]根據(jù)已知條件，甲廠生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時(shí)間之比為2:3；因此在單位時(shí)間內(nèi)甲廠生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比為2:3；同理可知，在單位時(shí)間內(nèi)乙廠生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)量之比是3:4；，由于，所以甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長，安排乙廠全力生產(chǎn)上衣，由于乙廠生產(chǎn)月生產(chǎn)1200件上衣，那么乙廠全月可生產(chǎn)上衣1200÷=2100件，同時(shí)，安排甲廠全力生產(chǎn)褲子，則甲廠全月可生產(chǎn)褲子900÷=2250條。

　　為了配套生產(chǎn)，甲廠先全力生產(chǎn)2100條褲子，這需要2100÷2250=月，然后甲廠再用月單獨(dú)生產(chǎn)西服900×=60套，于是，現(xiàn)在聯(lián)合生產(chǎn)每月比過去多生產(chǎn)西服

　　（2100+60）-（900+1200）=60套

　　例7今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩人輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7P（P為1或不超過20的任一質(zhì)數(shù)）顆棋子，誰最后取完為勝者，問甲、乙兩人誰有必勝的策略？

　　[分析]因?yàn)?400=7×200，所以原題可以轉(zhuǎn)化為：有圍棋子200顆，甲、乙兩人輪流每次取P顆，誰最后取完誰獲勝。

　　[解]乙有必勝的策略。

　　由于200=4×50，P或者是2或者可以表示為4k+1或4k+3的形式（k為零或正整數(shù)）。乙采取的策略為：若甲取2，4k+1，4k+3顆，則乙取2，3，1顆，使得余下的棋子仍是4的倍數(shù)。如此最后出現(xiàn)剩下數(shù)為不超過20的4的倍數(shù)，此時(shí)甲總不能取完，而乙可全部取完而獲勝。

　　[說明]（1）此題中，乙是“后發(fā)制人”，故先取者不一定存在必勝的策略，關(guān)鍵是看他們所面臨的“情形”；

　　（2）我們可以這樣來分析這個(gè)問題的解法，將所有的情形--剩余棋子的顆數(shù)分成兩類，第一類是4的倍數(shù)，第二類是其它。若某人在取棋時(shí)遇到的是第二類情形，那么他可以取1或2或3，使得剩下的是第一類情形，若取棋時(shí)面臨第一類情形，則取棋后留給另一個(gè)人的一定是第二類情形。所以，誰先面臨第二類情形誰就能獲勝，在絕大部分雙人比賽問題中，都可采用這種方法。

　　例8有一個(gè)80人的旅游團(tuán)，其中男50人，女30人，他們住的旅館有11人、7人和5人的三種房間，男、女分別住不同的房間，他們至少要住多少個(gè)房間？

　　[分析]為了使得所住房間數(shù)最少，安排時(shí)應(yīng)盡量先安排11人房間，這樣50人男的應(yīng)安排3個(gè)11人間，2個(gè)5人間和1個(gè)7人間；30個(gè)女人應(yīng)安排1個(gè)11人間，2個(gè)7人間和1個(gè)5人間，共有10個(gè)房間。

　　[練習(xí)]

　　1、十個(gè)自然數(shù)之和等于1001，則這十個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)可能取的最大值是多少？（不包括0）

　　2、在兩條直角邊的和一定的情況下，何種直角三角形面積最大，若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為多少？

　　3、5個(gè)人各拿一個(gè)水桶在自來水龍頭前等候打水，他們打水所需要的時(shí)間分別是1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘和5分鐘，如果只有一個(gè)水龍頭適當(dāng)安排他們的打水順序，就能夠使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小，那么這個(gè)最小值是多少分鐘？

　　4、某水池可以用甲、乙兩水管注水，單放甲管需12小時(shí)注滿，單放乙管需24小時(shí)注滿。若要求10小時(shí)注滿水池，并且甲、乙兩管合放的時(shí)間盡可能地少，則甲乙兩管全放最少需要多少小時(shí)？

　　5、有1995名少先隊(duì)員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī)，問完成任務(wù)后應(yīng)該在該公路的什么地點(diǎn)集合，可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點(diǎn)的路程總和最小？

　　6、甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)則是禁止寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，不能完成下一步的為失敗者。問：是先寫者還是后寫者必勝？如何取勝？

　　[習(xí)題參考答案及思路分析]

　　1、∵1001=7×11×13，∴可以7×13為公約數(shù),這樣這十個(gè)正整數(shù)可以是,91×2，它們的最大公約數(shù)為91。

　　2、對于直角三角形而言，在直角邊的和一定的情況下，等腰直角三角形的面積最大。若兩直角邊的和為8，則三角形的最大面積為×4×4=8。

　　3、為了使每個(gè)人排隊(duì)和打水時(shí)間的總和最小，有兩種方法：

　　（1）排隊(duì)的人盡量少；（2）每次排隊(duì)的時(shí)間盡量少。因此應(yīng)先讓打水快的人打水，才能保證開始排隊(duì)人多的時(shí)候，每個(gè)人等待的時(shí)間要少，故共需5×1+4×2+3×3+2×4+5=35（分鐘）。

　　4、由于甲、乙單獨(dú)開放都不可能在10小時(shí)注滿水池，因此必須有時(shí)間甲、乙全放。為了使它們合放的時(shí)間最少，應(yīng)盡量開放甲管（速度快），這樣甲開10小時(shí)注滿水池的，余下只能由乙注滿，需。因此甲乙兩管全放最少需要4小時(shí)。

　　5、此問題我們可以從最簡單問題入手，尋找規(guī)律，從而解決復(fù)雜問題，最后集合地點(diǎn)應(yīng)在中間地點(diǎn)。

　　6、先寫者存在獲勝的策略。甲第一步寫6，乙僅可寫4，5，7，8，9，10中的一個(gè)，把它們分成數(shù)對（4，5），（8，10），（7，9）。如果乙寫數(shù)對中的某個(gè)數(shù)，甲就寫數(shù)對中的另一個(gè)數(shù)，則甲必勝。