一、定義法

　　例1  若方程 只有負數解，則實數a的取值范圍是：_________。

　　分析與解  因為方程只有負數解，故 ，原方程可化為：

　　 ，

　　∴ ，

　　即

　　說明  絕對值的意義有兩點。其一，一個正數的絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，零的絕對值是零；其二，在數軸上表示一個點到原點的距離。利用絕對值的定義常可達到去掉絕對值符號的目的。

　　二、利用非負性

　　例2  方程 的圖象是（   ）

　　（A）三條直線：

　　（B）兩條直線：

　　（C）一點和一條直線：（0，0），

　　（D）兩個點：（0，1），（－1，0）

　　分析與解  由已知，根據非負數的性質，得

　　即 或

　　解之得： 或

　　故原方程的圖象為兩個點（0，1），（－1，0）。

　　說明  利用非負數的性質，可以將絕對值符號去掉，從而將問題轉化為其它的問題來解決。

　　三、公式法

　　例3  已知 ，求 的值。

　　分析與解  ，

　　∴原式

　　說明  本題根據公式 ，將原式化為含有 的式子，再根據絕對值的定義求值。

　　四、分類討論法

　　例4  實數a滿足 且 ，那么

　　分析與解  由 可得

　　 且 。

　　當 時，

　　 ；

　　當 時，

　　說明  有的題目中，含絕對值的代數式不能直接確定其符號，這就要求分情況對字母涉及的可能取值進行討論。

　　五、平方法

　　例5  設實數a、b滿足不等式 ，則

　　（A） 且

　　（B） 且

　　（C） 且

　　（D） 且

　　分析與解  由于a、b滿足題設的不等式，則有

　　 ，

　　整理得

　　 ，

　　由此可知 ，從而

　　上式僅當 時成立，

　　∴ ，即 且 ，

　　選B。

　　說明  運用此法是先對不等式進行平方去掉絕對值，然后求解。

　　六、圖示法

　　例6  在式子 中，由不同的x值代入，得到對應的值。在這些對應值中，最小的值是（   ）

　　（A）1  （B）2  （C）3  （D）4

　　分析與解  問題可變化為：在數軸上有四點A、B、C、D，其對應的值分別是－1、－2，－3、－4，求一點P，使 最小（如圖）。

　　由于 是當P點在線段AD上取得最小值3， 是當P在線段BC上取得最小值1，故 的最小值是4。選D。

　　說明  由于借助圖形，巧妙地把問題在圖形中表示出來，形象直觀，便于思考，從而達到快捷解題之目的。

　　七、驗證法

　　例7  是一個含有4重絕對值符號的方程，則（   ）

　　（A）0、2、4全是根
（B）0、2、4全不是根

　　（C）0、2、4不全是根

　　（D）0、2、4之外沒有根

　　分析與解  從答案中給出的0、2、4容易驗證都是方程的根，并且通過觀察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故選A。

　　說明  運用此法是從題干出發，取符合題意的某些特殊值或特殊圖形，與選擇支對照檢驗，從而判定各個選擇支的正誤。

　　八、代數式零點法

　　例8  的最小值是_________。

　　分析與解  由 可確定零點為－1、2、3。

　　當 時，

　　原式 ；

　　當 時，

　　原式 ；

　　當 時，

　　原式 ；

　　當 時，

　　原式

　　綜上知所求最小值為4。

　　說明  運用此法解決含字母代數式絕對值化簡方法是：（1）先求代數式零點，把數軸分為若干區間；（2）判定各區間內代數式的正負號；（3）依據絕對值的定義，去掉絕對值符號。

　　九、數形結合法

　　例9  已知二次函數 的圖象如圖所示，并設 ，則（   ）

　　（A）   （B）   （C）   （D）不能確定M為正、負或為0

　　分析與解  令 中 ，由圖象得： ；

　　令 得

　　∵頂點在第四象限，

　　∴頂點的橫坐標

　　又 ，

　　而 ，

　　∴ ，即

　　故

　　選C。

　　說明  運用此法是將抽象思維和形象思維結合起來，達到以形助數，以數助形，可以使許多復雜問題獲得簡便的解決。

　　十、組合計數法

　　例10  方程 ，共有幾組不同整數解

　　（A）16  （B）14  （C）12  （D）10

　　分析與解  由已知條件可得

　　當 時， ；

　　當 時， ；

　　當 時， ；

　　當 時， 。

　　共有12組不同整數解，故選C。

　　說明  此法具有較強的技巧性，必須認真分析條件，進行分類、歸納，從中找出解決問題的方法。

　　十一、枚舉法

　　例11  已知a為整數， 是質數，試確定a的所有可能值的和。

　　分析與解  設 是質數p，則 僅有因子±1及 。

　　當 時，

　　 ，此時， ；

　　當 時，

　　 ，此時， ；

　　當 時，

　　 ，此時， ；

　　當 時，

　　 ，此時，

　　∴當a取整數－1、－2、5、4時， 是質數， 即a的所有可能值的和為6。

　　說明  運用此法是指在題目條件的范圍內，將可能的情況一一列舉出來，然后通過比較、檢驗進行篩選，最終確定結果。