【題說】 1963年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十年級(jí)題2．算術(shù)級(jí)數(shù)有無窮多項(xiàng)．

【證】 設(shè)此算術(shù)級(jí)數(shù)公差是 d，且其中一項(xiàng) a＝m²（m∈N）．于是

a＋（2km＋dk²）d＝（m＋kd）²

對(duì)于任何k∈N，都是該算術(shù)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)，且又是完全平方數(shù)．

A1－005 求一個(gè)最大的完全平方數(shù)，在劃掉它的最后兩位數(shù)后，仍得到一個(gè)完全平方數(shù)（假定劃掉的兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)非零）．

【題說】 1964年全俄數(shù)學(xué)奧林匹克十一年級(jí)題 1．

【解】 設(shè) n²滿足條件，令n²＝100a²＋b，其中 0＜b＜100．于是 n＞10a，即 n≥10a＋1．因此

b＝n²100a²≥20a＋1

由此得         20a＋1＜100，所以a≤4．

經(jīng)驗(yàn)算，僅當(dāng)a＝4時(shí)，n＝41滿足條件．若n＞41則n²－40²≥42²－40²＞100．因此，滿足本題條件的最大的完全平方數(shù)為41²＝1681．

A1－006 求所有的素?cái)?shù)p，使4p²＋1和6p²＋1也是素?cái)?shù)．

【題說】 1964年～1965年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克二試題 1．

【解】 當(dāng)p≡±1（mod 5）時(shí)，