黎曼于１８２６年出生在德國(guó)的一個(gè)農(nóng)村！１９歲到哥廷根大學(xué)讀書，成為高斯晚年的一名高才生。哥廷根大學(xué)在后來的１００多年里一直是世界數(shù)學(xué)的研究中心。黎曼畢業(yè)后留校任教。１５年后（１８６６）死于肺結(jié)核。

    黎曼的一生是短暫的，不到４０個(gè)年頭。他沒有時(shí)間獲得象歐拉和柯西那么多的數(shù)學(xué)成果。但他的工作的優(yōu)異質(zhì)量和深刻的洞察能力令世人驚嘆。我們之所以要介紹黎曼，是因?yàn)楸M管牛頓和萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了微積分，并且給出了定積分的論述，但目前教科書中有關(guān)定積分的現(xiàn)代化定義是由黎曼給出的。為紀(jì)念他，人們把積分和稱為黎曼和，把定積分稱為黎曼積分。

    德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特曾指出：“１９世紀(jì)最有啟發(fā)性、最重要的數(shù)學(xué)成就是非歐幾何的發(fā)現(xiàn)。”１８２６年俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基首先在保留歐氏幾何前四個(gè)公設(shè)的同時(shí)，提出與歐氏幾何第五公設(shè)相反的公設(shè)：“過平面上直線外一點(diǎn)，至少可以作兩條直線與原直線平行。”從而構(gòu)造了一個(gè)新的邏輯體系。在這個(gè)新的幾何體系里，如同歐幾里得幾何一樣，沒有任何邏輯矛盾。在羅巴切夫斯基幾何學(xué)中。出現(xiàn)了許多與歐氏幾何完全不同的定理和命題。如“三角形內(nèi)角和小于１８０度”；“圓周長(zhǎng)與直徑的比恒大于π，所大的值隨面積的增加而增大”。這種幾何學(xué)稱為非歐幾何學(xué)。
   

    德國(guó)的高斯、俄國(guó)的羅巴切夫斯基和匈牙利的鮑耶幾乎同時(shí)提出了非歐幾何學(xué)的思想，各自獨(dú)立地創(chuàng)立了非歐幾何學(xué)。但高斯因“害怕引起某些人的喊聲”而未敢公開發(fā)表。也由于高斯未能正確評(píng)價(jià)和鼓勵(lì)鮑耶的發(fā)現(xiàn)，致使鮑耶放棄了數(shù)學(xué)研究。而羅巴切夫斯基不保守、不消沉，一直堅(jiān)持公開宣傳非歐幾何學(xué)。他的精神確實(shí)令人敬佩，他的幾何創(chuàng)新工作終于得到后人的一致承認(rèn)和普遍贊美，稱他是“幾何學(xué)中的哥白尼”。

    １８５４年黎曼提出了一種新的幾何學(xué)。在這種幾何學(xué)中，黎曼把歐氏幾何的第五公設(shè)改為“過平面上直線外一點(diǎn)沒有直線與原直線平行”。由此可推出“三角形內(nèi)角和大于π”的命題，更重要的是他把歐幾里得三維空間推廣到ｎ維空間，從而得到一種新的幾何學(xué)－－黎曼非歐幾何學(xué)。他的工作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過前人，他的著作對(duì)１９世紀(jì)下半葉和２０世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展都產(chǎn)生了重大的影響。他不僅是非歐幾何的創(chuàng)始人之一，而且他的研究成果為５０年后愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)框架。愛因斯坦在創(chuàng)建廣義相對(duì)論的過程中，因他缺乏必要的數(shù)學(xué)工具，長(zhǎng)期未能取得根本性的突破，當(dāng)他的同學(xué)、好友，德國(guó)數(shù)學(xué)家格拍斯曼幫助他掌握了黎曼幾何和張量分析之后，才使愛因斯坦打開了廣義相對(duì)論的大門，完成了物理學(xué)的一場(chǎng)革命，宣告核時(shí)代的來臨。愛因斯坦深有體會(huì)地說：“理論物理學(xué)家越來越不得不服從于純數(shù)學(xué)的形式的支配。”愛因斯坦還認(rèn)為理論物理的“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學(xué)之中。”黎曼的數(shù)學(xué)思想精辟獨(dú)特。對(duì)于他的貢獻(xiàn)，人們是這樣評(píng)價(jià)的：“黎曼把數(shù)學(xué)前進(jìn)推進(jìn)了幾代人的時(shí)間”。

    非歐幾何的建立所產(chǎn)生的一個(gè)“最重要的影響是迫使數(shù)學(xué)家們從根本上改變了對(duì)數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解”。歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，不僅看到了數(shù)學(xué)的成就與應(yīng)用，也看到了數(shù)學(xué)的發(fā)展如何教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理、發(fā)揚(yáng)理性主義的探索精神、激發(fā)人們對(duì)理想和美的追求。