2006年8月，第二十五屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)在西班牙馬德里舉行，中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所副所長(zhǎng)陳志明研究員作了題為《求解微分方程的后驗(yàn)誤差估計(jì)與自適應(yīng)有限元方法》的45分鐘報(bào)告，成為此次大會(huì)唯一獲邀作45分鐘報(bào)告的中國(guó)大陸數(shù)學(xué)家。

　　最優(yōu)方法已經(jīng)走到極限

　　“自適應(yīng)有限元方法的思想最早出現(xiàn)在1978年，美國(guó)數(shù)學(xué)家Babuska完成了這一方法的基本理論，但那個(gè)時(shí)候，自適應(yīng)有限元方法被用來(lái)解決一些比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，而我的工作就是用它來(lái)解決比較復(fù)雜和困難的工程問(wèn)題。”辦公室里，陳志明輕描淡寫地對(duì)記者說(shuō)著自己在國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作的報(bào)告。

　　不過(guò)，從簡(jiǎn)單問(wèn)題到復(fù)雜的工程問(wèn)題，這個(gè)方法要經(jīng)歷和解決的困難卻無(wú)法輕描淡寫。

　　自適應(yīng)有限元方法以常規(guī)有限元方法為基礎(chǔ)，以后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)網(wǎng)格改進(jìn)技術(shù)為核心，通過(guò)自適應(yīng)分析，自動(dòng)調(diào)整算法以改進(jìn)求解過(guò)程。“從方法論角度來(lái)說(shuō)，人們已經(jīng)得到結(jié)論，自適應(yīng)是用有限元方法解微分方程的最優(yōu)離散方法。”陳志明說(shuō)，在微分方程求解的有限元道路上，自適應(yīng)已經(jīng)是數(shù)學(xué)上能找到的“極限”方法了。

　　在實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐中，很多工程問(wèn)題的解決都要用到微分方程，但用計(jì)算機(jī)求解微分方程需要進(jìn)行大量計(jì)算。有時(shí)候，為了把誤差控制在足夠小的范圍內(nèi)，需要進(jìn)行上億次的運(yùn)算，這對(duì)一般計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)非常吃力。有時(shí)即便進(jìn)行上百億次運(yùn)算，也無(wú)法把誤差控制在理想范圍之內(nèi)。為了減少運(yùn)算次數(shù)、控制誤差范圍，顯然，需要更好的求解方法。

　　“用有限元方法解微分方程有三步：設(shè)計(jì)網(wǎng)格、在網(wǎng)格上將微分方程離散、解代數(shù)方程。其中，設(shè)計(jì)網(wǎng)格是最關(guān)鍵也是最困難的一步。”所謂設(shè)計(jì)網(wǎng)格，就是把計(jì)算區(qū)域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，陳志明告訴記者，人們往往根據(jù)經(jīng)驗(yàn)來(lái)劃分網(wǎng)格，有時(shí)需要反復(fù)嘗試多次才能找到比較合適的劃分方法，而嘗試過(guò)程也需要進(jìn)行大量運(yùn)算。

　　“現(xiàn)在，用自適應(yīng)方法解微分方程，設(shè)計(jì)網(wǎng)格的工作可以交給計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，不再需要人們手工設(shè)置和嘗試，這樣節(jié)省了大量工作和時(shí)間。”陳志明說(shuō)。

　　在第二十五屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的報(bào)告中，陳志明以工程中的熱傳導(dǎo)問(wèn)題為例，很好地說(shuō)明了這一方法的高效率。如果在計(jì)算域內(nèi)設(shè)計(jì)分布均勻的網(wǎng)格，將需要100億個(gè)網(wǎng)格，但這時(shí)達(dá)到的誤差仍然有0.1；如果用自適應(yīng)方法設(shè)計(jì)出分布不均勻的網(wǎng)格，只需要2673個(gè)網(wǎng)格，誤差就會(huì)下降到0.07。

　　現(xiàn)在，陳志明在橢圓障礙問(wèn)題、超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型、電磁散射計(jì)算中引入的創(chuàng)造性的有限元自適應(yīng)方法，被國(guó)際學(xué)術(shù)界認(rèn)為“非常重要和有用”。

　　循著開創(chuàng)者的路繼續(xù)開創(chuàng)

　　陳志明作完45分鐘報(bào)告之后，遇到一位曾在1994年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作邀請(qǐng)報(bào)告的西班牙數(shù)學(xué)家。當(dāng)他得知陳志明來(lái)自中國(guó)科學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所，興奮地說(shuō)，多年前，他曾訪問(wèn)中科院計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所的前身——中科院計(jì)算中心，與馮康先生討論數(shù)學(xué)問(wèn)題，后來(lái)他還邀請(qǐng)馮康先生到西班牙訪問(wèn)。

　　對(duì)未知的追求與對(duì)先驅(qū)的敬仰重新交織在同一個(gè)時(shí)空。

　　馮康一生中有兩次重大科學(xué)突破：1964～1965年間，獨(dú)立開創(chuàng)有限元方法并奠定其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；1984年以后創(chuàng)建哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法及其發(fā)展。

　　“我只是在南京大學(xué)讀書的時(shí)候聽(tīng)過(guò)馮先生的報(bào)告，那是我對(duì)馮先生最直接的印象。遺憾的是，馮先生在1993年就過(guò)世了，當(dāng)時(shí)我還在國(guó)外攻讀博士學(xué)位，沒(méi)有機(jī)會(huì)得到馮先生的親自指導(dǎo)。后來(lái)到了計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所，我才聽(tīng)大家說(shuō)起馮先生的工作，開始讀他的文章。那些東西很深，他的工作很了不起。”陳志明回憶起馮先生給他留下的印象。

　　1994年，陳志明還在德國(guó)做博士后。當(dāng)時(shí)他在做超導(dǎo)數(shù)學(xué)模型的計(jì)算，從一個(gè)報(bào)告中了解到美國(guó)數(shù)學(xué)家Babuska開創(chuàng)的自適應(yīng)方法，并感到這個(gè)方法非常有意思，隨即搜集了很多相關(guān)材料。很快，陳志明回國(guó)，在研究工作中逐漸把自適應(yīng)方法引入到解決復(fù)雜工程問(wèn)題的有限元計(jì)算中。

　　計(jì)算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計(jì)算研究所石鐘慈、林群和崔俊芝幾位院士，也從事有限元方法的研究，平時(shí)經(jīng)常和陳志明一起交流、討論，非常支持陳志明。“有限元方法的研究在我國(guó)基礎(chǔ)很強(qiáng)，我現(xiàn)在做的工作也是繼承了這個(gè)傳統(tǒng)。為什么要解決這些工程問(wèn)題，為什么這些問(wèn)題這么重要，這個(gè)解決辦法是怎么開創(chuàng)出來(lái)的等等，這其中的來(lái)龍去脈，學(xué)術(shù)文章里是不寫的，但往往是科學(xué)研究中很重要的部分。能夠在這種良好氛圍中熏陶和灌輸，慢慢地，人在學(xué)術(shù)上的品位就會(huì)逐步建立起來(lái)。”

　　這些年來(lái)，陳志明和他周圍的學(xué)者們不斷討論計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展方向。當(dāng)前國(guó)內(nèi)計(jì)算數(shù)學(xué)的研究范圍已經(jīng)擴(kuò)大到應(yīng)用、實(shí)現(xiàn)技術(shù)、軟件平臺(tái)研究等，與國(guó)際上的研究趨勢(shì)更加緊密地結(jié)合起來(lái)。

　　2005年，陳志明成為國(guó)家“973”計(jì)劃項(xiàng)目“高性能科學(xué)計(jì)算研究”的首席科學(xué)家。這使得他們從事的研究能夠更加深入地進(jìn)行下去。“我一直很喜歡自適應(yīng)這個(gè)方法，對(duì)Babuska先生，我也很景仰。他這種原創(chuàng)性的想法非常難得，對(duì)我們幫助很大。當(dāng)然，要拿這套東西去解決新的問(wèn)題，還需要新的想法和新的發(fā)現(xiàn)。”

　　計(jì)算數(shù)學(xué)水平邁上新臺(tái)階

　　身處國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，陳志明在會(huì)議期間常和同行交流，他感到，中國(guó)計(jì)算數(shù)學(xué)的水平已經(jīng)得到了國(guó)際學(xué)術(shù)界的肯定。

　　“在計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我國(guó)的學(xué)術(shù)水平在國(guó)際上已經(jīng)上了一個(gè)新臺(tái)階。國(guó)內(nèi)學(xué)者在國(guó)外頂尖刊物上發(fā)表文章已經(jīng)非常多，這種整體水平的提高也已經(jīng)被國(guó)外學(xué)者注意到了。他們說(shuō)，原來(lái)國(guó)外頂尖刊物上的文章也有很多中國(guó)學(xué)者的名字，但是地址都在國(guó)外，現(xiàn)在這些中國(guó)學(xué)者的地址很多都在國(guó)內(nèi)了。

　　“另外，我們現(xiàn)在研究的問(wèn)題也能讓國(guó)外的學(xué)者感興趣，這在某種程度上代表著你做的學(xué)問(wèn)是否有原創(chuàng)性。

　　“我從事的是計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域，但我想不僅僅是計(jì)算數(shù)學(xué)在發(fā)展，總的來(lái)講，我國(guó)數(shù)學(xué)的總體水平比以前有了很大的進(jìn)步。”

　　陳志明認(rèn)為，整體水平高了以后，分支領(lǐng)域中才會(huì)有更高的成就。例如俄羅斯的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)非常強(qiáng)，才會(huì)產(chǎn)生佩雷爾曼這樣的數(shù)學(xué)家。他用來(lái)證明龐加萊猜想的一個(gè)關(guān)鍵方法，西方數(shù)學(xué)界幾乎無(wú)人能懂，但是受過(guò)俄羅斯數(shù)學(xué)教育的數(shù)學(xué)家卻都深諳此道。這就是俄羅斯整體數(shù)學(xué)水平高、長(zhǎng)期積累的數(shù)學(xué)工具之一，而且這種數(shù)學(xué)工具其他國(guó)家的人往往不知道，這樣的話，很有可能有些問(wèn)題只能用這些“獨(dú)門”數(shù)學(xué)工具來(lái)解決。

　　喜歡數(shù)學(xué)是因?yàn)閺闹姓业搅藰?lè)趣

　　第二十五屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，陳志明和他的國(guó)際同行有一個(gè)共識(shí)，他說(shuō)：“我感覺(jué)數(shù)學(xué)家還是應(yīng)該更多地考慮數(shù)學(xué)本身，專注于做學(xué)問(wèn)，其他的不應(yīng)該考慮太多。

　　“我們確實(shí)討論到了這樣的問(wèn)題，大家喜歡做數(shù)學(xué)，就是因?yàn)閺淖鰯?shù)學(xué)的過(guò)程中找到了樂(lè)趣。有一位國(guó)際同行的話讓我印象深刻，他說(shuō)，‘你做數(shù)學(xué)的過(guò)程，樂(lè)在其中，那就夠了！’

　　“有的人說(shuō)數(shù)學(xué)枯燥，我覺(jué)得很有意思，因?yàn)閿?shù)學(xué)能把很多自然現(xiàn)象歸納成數(shù)學(xué)模型，通過(guò)這個(gè)數(shù)學(xué)模型能預(yù)測(cè)很多原來(lái)不可能知道的事情。

　　“這是非常有意義的，原來(lái)不能做的事情現(xiàn)在能做了，原來(lái)別人看不到的，通過(guò)你的努力能看到了，這些就是科學(xué)發(fā)現(xiàn)。搞數(shù)學(xué)的和其他科學(xué)研究都一樣，都需要堅(jiān)持和勤奮。”

　　對(duì)過(guò)程樂(lè)在其中，對(duì)結(jié)果自然就不會(huì)太多過(guò)問(wèn)，陳志明說(shuō)：“隨著時(shí)間過(guò)去，很多東西都會(huì)過(guò)去，真正原創(chuàng)的研究才能留下來(lái)。但是科學(xué)史上能夠留下來(lái)的東西是非常少的。”

　　“科學(xué)家也是人，不可能完全脫離社會(huì)，如果出現(xiàn)了對(duì)學(xué)術(shù)問(wèn)題的不同意見(jiàn)也很正常。科學(xué)史上也有牛頓和萊布尼茲關(guān)于微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論，但最后他們都留在了科學(xué)史上，說(shuō)明他們的工作都很重要。”對(duì)于工作的價(jià)值，陳志明認(rèn)為，那是要用時(shí)間來(lái)判斷的，與自己要做的工作無(wú)關(guān)。