模算術

　　海倫避免冗長的從1數到1976的訣竅是她領悟到這個問題可以通過運用叫作“模算術”或“鐘算術”的理論很快得到答案。

　　鐘算術模仿了12個數字的有限算術。實際上，在以12為基數的模算術中，12與O是一致的。假定現在是12點整，而且你希望知道100個小時后是幾點，這只需要把100被12除，得出的余數就是。余數等于4說明100小時后，鐘顯示出的時間是4點整。這里與我們有關的只是余數�！�100”這個數被認為與“4”等價(以12為模)，只不過意味著100被12除時，余數為4。

　　你明白亨利叔叔的計數方法是怎樣與“鐘算術”等同的嗎？唯一的不同點是中點的三個瓶子每一個代表兩個數字，因為它們在兩個不同方向被數了兩次�！�8”數到了開始后的第二個瓶子，然后另一個周期重新開始。因此這個過程顯示了一個以8為模的算術過程。

　　海倫只確定了一下1976的等價值(以8為模)。換句話說，把1976用8除后得到的余數是零。在以8為模的算術中，8=0(以8為模)。因此，數到1976一定停在從計數開始時第二個瓶子上。

　　如果亨利叔叔數的數很大時比如12345678987654321，你如果想知道他最后停在哪兒的話，是否一定要用整個數字除以8呢？其實不必。因為1000=0(以8為模)，你只需把最后的3位數，321，用8除一下即可。321被8除后余數是1，這說明12345678987654321=1(以8為模)。所以計數最后一定停在第一個瓶子上。

　　改變瓶子的數量，你可用偶數模設計很多有限算術模型。如果數瓶的方式是通常的從左向右數，那么你就可以以任何奇數或偶數為模，建立一個有限算術模型。

　　“約瑟夫難題”是一個包含物體周期性計數的著名難題，因為它取材于內中主人公叫作約瑟夫的一則古羅馬故事。與這個問題相類似的還有很多作品。下面是一個有趣的新編外國故事。

　　從前，一個富有的國王有一個漂亮的女兒，她的名字叫約瑟芬。追求她的小伙子成百上千。最后，除了她選中的10個她最喜歡的人之外，其他人都被排除了。

　　幾個月過去了，約瑟芬還沒有最后拿定主意。國王生氣了，他說：“寶貝，下個月你就17歲了，所有公主都要在到這年齡前結婚是我們的習俗�！�

　　她答道：“爸爸，可我還沒最后決定我是否最喜歡喬治。”

　　“即然如此，今天我們只好通過慣例來解決這個問題�！�

　　接著，國王解釋了一下這古老儀式的進行方式。他說：“10個人站成一個圓周，你可以挑選任何一個你喜歡的人作為1，然后你開始順圓圈按順時針方向數數，數到你的年齡――17為止，第十七個人必須退出這個圈。我們給他100金幣做補償，送他回家�！�

　　“他走后，你再從1數到17。這次從已退出那人的下一位數起，當數到17時，第十七個人像前面一樣被排除掉。依此繼續做一下去，總是數剩下的人，直到剩下最后一個。他就是要和你結婚的那個人。”

　　約瑟芬皺著眉說：“爸爸，我還沒搞清楚，我用10個金幣做一下演習好嗎？”

　　國王同意了。約瑟芬把10枚金幣擺成一個圓圈，開始轉圈數數。拿掉每一個第17枚，直到剩下最后一個。國王一直守候著直到他女兒完全掌握了這個過程。

　　十名求婚者被帶到了王宮。他們圍著約瑟芬站成一個圓圈。她一點也不含糊地從帕西瓦開始數了起來。很快地，除了她芳心暗許的喬治外，其余的人都被排除了。約瑟芬有什么訣竅使她很容易找到最后一定剩下喬治的第一個數呢？

　　下面是約瑟芬如何安排的妙諦所在。她在數金幣做實驗時，記住了最后留下的金幣是從她開始數的那枚金幣往下的第三號，因而當她數人時，從能把喬治排在第三號的那個數起。

　　約瑟芬問題的一般原理可通過一副撲克牌的13張黑桃來說明。你能把這些牌排成一個順序表演如下的約瑟芬計數嗎？

　　計數開始時，裝有正面向下的十三張撲克牌的盒拿在一只手上，稱最上面一張牌為1，翻開它是黑桃A。把A放在桌子上，然后數1、2，把第一張牌放在盒底下，第二張牌翻過來放在桌上面是黑桃2。然后數1、2、3，把頭兩張牌放在盒底下，第三張牌翻過來放在桌上，是黑桃3。如此繼續下去，每次從盒上部只拿一張牌，然后再順序拿第二張(與約瑟芬環周計數類同)，直到你翻開放到桌上的十三張牌恰好是從A到K的順序。

　　下面是這些卡片的編排順序；從上到下，做這樣一個排列即可：A、8、2、5、10、3、Q、J、9、4、7、6、K。

　　如果你認為設計這樣一個序列要浪費人們大量的時間，那么有一種能得到這序列的簡單方法。很多人從事這類研究的能手在領悟到使問題簡化的啟示之前，都花費了大量時間。