余數(shù)推算

　　其實(shí)海倫只不過數(shù)出了樂隊(duì)的總?cè)藬?shù)，發(fā)現(xiàn)它是5的倍數(shù)而已。但你怎樣才能在沒到現(xiàn)場(chǎng)的情況下，確定其人數(shù)呢？

　　哈！訣竅在這兒呢。當(dāng)樂隊(duì)排2、3、4列縱隊(duì)時(shí)，總是剩余一個(gè)人，即斯皮羅。顯而易見，有這種特征的最小數(shù)是2、3、4的最小公倍數(shù)再加1。而因?yàn)樽钚」�倍�?shù)是12，所以任何一個(gè)比12的倍數(shù)大1的數(shù)當(dāng)被2、3、4整除時(shí)都余1。

　　當(dāng)樂隊(duì)排五列縱隊(duì)前進(jìn)時(shí)，一個(gè)人也不多余。因此，人數(shù)又一定是5的倍數(shù)。所以，這個(gè)問題的答案一定是下列一串?dāng)?shù)的倍數(shù)：13、25、37、49、61、73、85、97、109、121、133、145……

　　對(duì)于一個(gè)學(xué)校樂隊(duì)來說，從145往上太龐大了，所以，尼康高校的樂隊(duì)或者有85人，或者有25人。至于確定是二者中的哪一個(gè)，我們目前缺乏足夠的證據(jù)。

　　這個(gè)問題有一個(gè)很好變形，即除了每次以2、3、4路縱隊(duì)前進(jìn)時(shí)，最后一排都少一個(gè)人外，其它與上題都一樣，問現(xiàn)在樂隊(duì)有多少人？這又要我們寫出一串比12的倍數(shù)少1，又能被5整除的數(shù)，它們是：35、95、155……

　　美國的難題專家薩姆?洛德先生出了下面一個(gè)與上題有關(guān)、但更難一點(diǎn)的題：在紐約一個(gè)帕特里克節(jié)日里，一大群愛爾蘭人正準(zhǔn)備一年一度的游行，指揮者試圖把隊(duì)伍排成10、9、8、7、6、5、4、3、和2路整齊的隊(duì)伍前進(jìn)，但每種情況下最后一排者都少一個(gè)人，因此人們認(rèn)為這個(gè)位置大概是給幾個(gè)月前剛死的卡茜的靈魂留著的。最后，指揮者無可奈何命令隊(duì)伍排單列縱隊(duì)前進(jìn)。假設(shè)游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)不超過5000人，那么參加此次游行的共計(jì)有多少人？這是一道尋找一系列數(shù)字的最小公倍數(shù)的極好的練習(xí)。這種情形下的最小公倍數(shù)是2520，如果去掉“卡茜”所占的位置，最終答案是2519。

　　如果每一次分配后剩下的人數(shù)是各不相同的，則問題似乎都比較困難。其實(shí)不然。比如追溯到十七世紀(jì)，印度算術(shù)課本上有這樣一道難題：一位挎著一籃雞蛋的婦女被疾馳而過的馬所驚，雞蛋籃掉在了地上，籃子里的雞蛋全碎了。當(dāng)問及籃子里有多少蛋時(shí)，她只能記起當(dāng)她以2、3、4、5為一組數(shù)雞蛋的數(shù)目時(shí)，每次分別剩余1、2、3、4只雞蛋。那么她籃子里原來盛有多少雞蛋呢？

　　這題乍看確實(shí)比上題難得多。實(shí)際上，它與我們做過的第二題的第一部分一樣，因?yàn)樵诿糠N情形下，余數(shù)都比除數(shù)少1，因此與前面一樣，它可以通過尋找最小公倍數(shù)再減去1來解決。

　　當(dāng)余數(shù)與除數(shù)沒有固定關(guān)系時(shí)，問題就會(huì)真正變得變雜了。下面是一道以這類題為基礎(chǔ)，借助計(jì)算器來進(jìn)行的魔術(shù)，你將發(fā)現(xiàn)它是既有趣又迷惑人的。

　　魔術(shù)師背對(duì)觀眾坐在一張椅子上，讓某位觀眾心中隨意想定一個(gè)不超過1000的數(shù)，然后用7去除這個(gè)數(shù)并報(bào)出余數(shù)；然后再用11去除原來想定的數(shù)，然后再用13去除，并都報(bào)出余數(shù)。

　　為加快這一魔術(shù)的進(jìn)行，這位觀眾用袖珍計(jì)算器算出三個(gè)余數(shù)。其實(shí)這借助下面算法很容易解決：先完成除法，去掉商的整數(shù)部分，再將剩下的分?jǐn)?shù)部分乘以原來的除數(shù)，得出的結(jié)果即為要找的余數(shù)。

　　魔術(shù)師不僅僅知道三個(gè)余數(shù)，他之所以能猜算觀眾想的那個(gè)數(shù)字，緣由在于他也使用了袖珍計(jì)算器和貼在計(jì)算器上面小紙條上的公式：即：

　　K=(715a+364b+924c)/1001(其中K為要求的數(shù))

　　在這個(gè)公式中，a、b、和c分別代表三個(gè)被報(bào)出來的余數(shù)，所求的數(shù)就是通過此公式計(jì)算出來的余數(shù)。

　　這個(gè)奇怪的公式是這樣得到的。第一個(gè)系數(shù)是比a的倍數(shù)多1的b×c的最小倍數(shù)。找它有一個(gè)訣竅，當(dāng)除數(shù)很小時(shí)，比如像此題的情況，很容易得到要求的數(shù)。簡單增長b×c的倍數(shù)(143，286，572，715……)，直到此數(shù)被a除余1即是，在此a=7的情形下，系數(shù)是715。

　　其它兩個(gè)系數(shù)可以通過同樣途徑得到。第二個(gè)系數(shù)是a×c的倍數(shù)中被b除余1的最小的數(shù)；第三個(gè)系數(shù)是a×b的倍數(shù)中被c除時(shí)余1的最小的數(shù)。公式中分?jǐn)?shù)線下面的系數(shù)就是由簡單的a×b×c得來。通過這個(gè)公式，你可由任何一組被提供的互素的除數(shù)(沒有公約數(shù))導(dǎo)出一個(gè)玄秘的公式。這里除數(shù)之間互素并不是必要條件。只是在我們的例題中為計(jì)算方便。

　　這個(gè)一般公式的證明要用到“模算術(shù)”及“中華余數(shù)定理”。這個(gè)定理是最有價(jià)值的數(shù)字定理之一，而這些數(shù)字定理在很多類似科學(xué)命題的高深證法中起很重要的作用。

　　下面做一個(gè)練習(xí)，試導(dǎo)出一個(gè)公式，作為這一魔術(shù)的簡單翻版。這練習(xí)可追溯到公元一世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家孫子，“中華余數(shù)定理”即以他的名字命名。此練習(xí)中被選的數(shù)字限定在1到105，除數(shù)是3，5和7，在此情形下，公式推導(dǎo)相當(dāng)簡單，經(jīng)過多次練習(xí)。你甚至可以用心算。