例1 一把鑰匙只能開一把鎖，現在有4把鑰匙4把鎖。但不知哪把鑰匙開哪把鎖，最多要試多少次就能配好全部的鑰匙和鎖？

分析與解 開第一把鎖，按最壞情況考慮試了3把還未成功，則第4把不用試了，它一定能打開這把鎖，因此需要3次。同樣的道理開第二把鎖最多試2次，開第三把鎖最多試1次，最后一把鎖則不用再試了。這樣最多要試的次數為：3＋2＋1=6（次）。

例2 x3=84A（x、A均為自然數）。A的最小值是______。（1997年南通市數學通訊賽試題）

分析與解 根據題意，84A開立方的結果應為自然數，于是我們可以把84分解質因數，得84=2×2×3×7，因此x³=2×2×3×7×A，其中A的質因數至少含有一個2、兩個3、兩個7，才能滿足上述要求。

　　即A的最小值為（2×3×3×7×7=）882。

例3 一個三位數除以43，商是a，余數是b，（a、b均為自然數），a＋b的最大值是多少？

分析與解 若要求a＋b的最大值，我們只要保證在符合題意之下，a、b盡可能大。由乘除法關系得

　　43a＋b=一個三位數

　　因為b是余數，它必須比除數小，即b＜43b的最大值可取42。

　　根據上面式子，考慮到a不能超過23。（因為24×43＞1000，并不是一個三位數）

　　當a=23時，43×23＋10=999，此時b最大值為10。

　　當a=22時，43×22＋42=988，此時b最大值為42。

　　顯然，當a=22，b=42時，a＋b的值最大，最值為22+42=64。

例4 兩個自然數的和為18，那么，這兩個自然數的積的最大值為多少？（廣州市小學數學競賽試題）

分析與解 設兩個正數分別為a、b，它們有以下幾種關系，a＋b≥值，運用此公式，本題迎刃而解。

　　即這兩個自然數的積的最大值為81。

例5 某公共汽車從起點站開往終點站，中途共有9個停車站。如果這輛公共汽車從起點站開出，除終點站外，每一站上車的乘客中從這一站到以后的每一站正好各有一位乘客上下車。為了使每位乘客都有座位。那么這輛汽車至少應有座位多少個？

　　（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）

　　所以這輛汽車至少應有座位30個。